小朋友学数据结构：约瑟夫环的链表解法数组解法和数学公式解法

Posted 2021-01-04 alan-blog-tsinghua

约瑟夫环的链表解法、数组解法和数学公式解法

 

约瑟夫环（Josephus）问题是由古罗马的史学家约瑟夫（Josephus）提出的，他参加并记录了公元66—70年犹太人反抗罗马的起义。约瑟夫作为一个将军，设法守住了裘达伯特城达47天之久，在城市沦陷之后，他和40名死硬的将士在附近的一个洞穴中避难。在那里，这些叛乱者表决说“要投降毋宁死”。于是，约瑟夫建议每个人轮流杀死他旁边的人，而这个顺序是由抽签决定的。约瑟夫有预谋地抓到了最后一签，并且，作为洞穴中的两个幸存者之一，他说服了他原先的牺牲品一起投降了罗马。
约瑟夫环问题的具体描述是：设有编号为1，2，……，n的n(n>0)个人围成一个圈，从第1个人开始报数，报到m时停止报数，报m的人出圈，再从他的下一个人起重新报数，报到m时停止报数，报m的出圈，……，如此下去，直到所有人全部出圈为止。当任意给定n和m后，设计算法求n个人出圈的次序。

解法一：用循环链表实现

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef struct node
{
    int data;
    struct node *next;
}Node;

/**
 * @功能 约瑟夫环
 * @参数 total:总人数
 * @参数 from:第一个报数的人
 * @参数 count:出列者喊到的数
 * @作者 zheng
 * @更新 2013-12-5
 */
void JOSEPHUS(int total, int from, int count)
{
    Node *p1, *head;
    head = NULL;
    int i;

    // 建立循环链表
    for(i = 1; i <= total; i++)
    {
        Node *newNode = (Node *)malloc(sizeof(Node));
        newNode->data = i;
        if(NULL == head)
        {
            head = newNode;
        }
        else
        {
            p1->next = newNode;
        }
        p1 = newNode;
    }
    p1->next = head;      // 尾节点连到头结点，使整个链表循环起来
    p1 = head;            // 使pcur指向头节点

    // 把当前指针pcur移动到第一个报数的人
    // 若从第一个人开始报数，这一段可要可不要
    for(i = 1; i < from; i++)
    {
        p1 = p1->next;
    }

    Node *p2 = NULL;
    // 循环地删除队列中报到count的结点
    while(p1->next != p1)
    {
        for(i = 1; i < count; i++)
        {
            p2 = p1;
            p1 = p1->next;
        }
        p2->next = p1->next;
        printf("Delete number: %d
", p1->data);   // 打印所要删除结点的数据
        free(p1);                      // 删除结点，从内存释放该结点占用的内存空间
        p1 = p2->next;      // p1指针指向新的结点p2->next，即原先的p1->next
    }

    printf("The last one is No.%d
", p1->data);
}

int main()
{
    int total, from, count;
    scanf("%d%d%d", &total, &from, &count);

    JOSEPHUS(total, from, count);

    return 0;
}

运行结果：

13 1 3
Delete number: 3
Delete number: 6
Delete number: 9
Delete number: 12
Delete number: 2
Delete number: 7
Delete number: 11
Delete number: 4
Delete number: 10
Delete number: 5
Delete number: 1
Delete number: 8
The last one is No.13

解法二：数组实现

思路：设数组a有n个变量，每个变量中初始放的标识数是1，表示这个人在队列里，若出列标识数就变为0。
现在计数器从1开始向后数，每报一个数即把累加器加1。这里累加器表示报数人数。累列到m时，报数的人要出列，标识数要变为0。下一个人从1开始重新报数。
报到最后一个人后，从第一个人开始继续报数。

#include<stdio.h>
#include<memory.h>

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    int flag[n + 1];    // 在队列里标记为1，出列标记为0
    memset(flag, 0, sizeof(flag));  //把数组每个元素置0，在memory.h中声明

    int i = 0;
    int outCnt = 0;     //  记录出列的人数
    int numoff = 0;     //  报数

    // 默认都标记为1
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
        flag[i] = 1;
    }

    while(outCnt < n - 1)
    {
        for(i = 1; i <= n; i++ )
        {
            if (1 == flag[i])
            {
                numoff++;
                if(numoff == m)
                {
                    printf("Dequeue：%d
", i);
                    outCnt++;
                    flag[i] = 0;    // 已出列的人标记为0
                    numoff = 0;     // 从头开始报数
                }
            }
        }
    }

    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(1 == flag[i])
        {
            printf("The last one is: %d
", i);
        }
    }

    return 0;
}

运行结果：

13 3
Dequeue：3
Dequeue：6
Dequeue：9
Dequeue：12
Dequeue：2
Dequeue：7
Dequeue：11
Dequeue：4
Dequeue：10
Dequeue：5
Dequeue：1
Dequeue：8
The last one is: 13

解法三：用数学公式求解

上面编写的解约瑟夫环的程序模拟了整个报数的过程，因为N和M都比较小，程序运行时间还可以接受，很快就可以出计算结果。可是，当参与的总人数N及出列值M非常大时，其运算速度就慢下来。例如，当N的值有上百万，M的值为几万时，到最后虽然只剩2个人，也需要循环几万次（由M的数量决定）才能确定2个人中下一个出列的序号。显然，在这个程序的执行过程中，很多步骤都是进行重复无用的循环。
那么，能不能设计出更有效率的程序呢？
办法当然有。其中，在约瑟夫环中，只是需要求出最后的一个出列者最初的序号，而不必要去模拟整个报数的过程。因此，为了追求效率，可以考虑从数学角度进行推算，找出规律然后再编写程序即可。

为了讨论方便，先根据原意将问题用数学语言进行描述。
问题：将编号为0～（N–1）这N个人进行圆形排列，按顺时针从0开始报数，报到M–1的人退出圆形队列，剩下的人继续从0开始报数，不断重复。求最后出列者最初在圆形队列中的编号。

下面首先列出0~(N-1)这N个人的原始编号如下：
0 1 2 3 … N-3 N-2 N-1

根据前面曾经推导的过程可知，第一个出列人的编号一定是(M–1)%N。例如，在13个人中，若报到3的人出列，则第一个出列人的编号一定是(3–1)%13=2，注意这里的编号是从0开始的，因此编号2实际对应以1为起点中的编号3。根据前面的描述，m的前一个元素(M–1)已经出列，则出列1人后的列表如下：
0 1 2 3 … M-3 M-2 ○ M M+1 M+2 … N-3 N-2 N-1
注意，上面的圆圈表示被删除的数。

根据规则，当有人出列之后，下一个位置的人又从0开始报数，则以上列表可调整为以下形式（即以M位置开始，N–1之后再接上0、1、2……，形成环状）：
M M+1 M+2 … N-2 N-1 0 1 … M-3 M-2

按上面排列的顺序从0开始重新编号，可得到下面的对应关系：
M M+1 M+2 … N-2 N-1 0 1 … M-3 M-2
0 1 2 … N-(M+2) N-(M+1) N-M N-(M-1) … N-3 N-2
这里，假设上一行的数为x，下一行的数为y，则对应关系为:

y = (x - M + N) % N         公式【1】

或者

x = (y + M) % N             公式【2】

通过上表的转换，将出列1人后的数据重新组织成了0～（N–2）共N–1个人的列表，继续求N–1个参与人员，按报数到M–1即出列，求解最后一个出列者最初在圆形队列中的编号。

看出什么规律没有？通过一次处理，将问题的规模缩小了。即对于N个人报数的问题，可以分解为先求解（N–1）个人报数的子问题；而对于（N–1）个人报数的子问题，又可分解为先求[(N-1)-1]个人报数的子问题，……。

问题中的规模最小时是什么情况？就是只有1个人时（N=1），报数到（M–1）的人出列，这时最后出列的是谁？当然只有编号为0这个人。因此，可设有以下函数：

F(1) = 0

那么，当N=2，报数到（M–1）的人出列，最后出列的人是谁？应该是只有一个人报数时得到的最后出列的序号加上M，因为报到M-1的人已出列，只有2个人，则另一个出列的就是最后出列者，利用公式【2】，可表示为以下形式：

F(2) = [F(1) + M] % N = [F(1) + M] % 2

比如，N=2, M=3时，有F(2) = [F(1) + M]%N = (0 + 3)%2 = 1

根据上面的推导过程，可以很容易推导出，当N=3时的公式：

F(3) = [F(2) + M] % N = [F(2) + M] % 3

于是，咱们可以得到递推公式：

F(1) = 0
F(N) = [F(N - 1) + M] % N   (N>1)

有了此递推公式，可使用递归方法来设计程序：

#include <iostream>
using namespace std;

int josephus(int n, int m)
{
    if(1 == n)
    {
        return 0;
    }

    return (josephus(n - 1, m) + m) % n;
}

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    cout << "最后出列的人的编号为（从0开始编号）：" << josephus(n, m) << endl;


    return 0;
}

运行结果：

13 3
最后出列的人的编号为（从0开始编号）：12

使用递归函数会占用计算机较多的内存，当递归层次太深时可能导致程序不能执行，比如64层的汉诺塔需要计算很长的时间。
因此，这里可以将程序直接编写为以下的递推形式：

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    int out = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        out = (out + m) % i;
    }

    cout << "最后出列的人的编号为（从0开始编号）：" << out << endl;

    return 0;
}