中国剩余定理

Posted 2021-01-04 zylak

小学奥数中我们学过一个经典的问题：有一个数除以3余2，除以5余3，除以7余5，求这个数。 这就是著名的中国剩余定理。

 

中国剩余定理：

　　我们就先来考虑上述的这个问题。不妨先设三个整数n₁，n₂，n₃满足：n₁%3=2，n₂%5=2，n₃%7=2。接下来，对于n₁而言，如果使得n₁满足n₁%5=0并且n₁%7=0，那么（n₁+n₂）%5=n₂%5=2并且（n₁+n₃）%7=2。

这个不难说明，因为（n₁+n₂）%5=（（n₁%5）+（n₂%5））%5，因为我们使得n₁%5=0，所以（（n₁%5）+（n₂%5））%5=（0+（n₂%5））%5。至此，我们不难发现如果使得n₂，n₃有类似的性质（即：n₂%3=0并且n₂%7=0，n₃%3=0并且n₃%5=0），那么（n₁+n₂+n₃）就会同时满足题设中三个要求。这样看来，我们要求的就是n₁，n₂，n₃这样的数，并把它们相加。整理一下上述n₁，n₂，n₃满足的条件即：（以n₁为例）

1. n₁%3=2（找一个数满足题设中的某一个条件）

2. n₁%5=0并且n₁%7=0（找到的这个数同时也是其它所有数的公倍数）

值得注意的是，题目中的任意两个模数都是互质的，所以要求几个模数的最小公倍数的时候，只需要将它们相乘即可。

综上所述，我们可以将这个简单的问题变成一个求解数学问题的通法：

　　求出一个整数x满足： ，其中m₁，m₂ ......m_n任意两数互质。

那么就有：方程组  的通解形式为

 

 

下面讲一下具体的代码实现：

1. 依次考虑每个模数，对于某个模数m_i，我们首先要找一个其他所有模数的公倍数x，满足题设中的x%m_i=rest_i（rest_i表示题设中规定的那个余数）

2. 找最小公倍数x_i的方法：因为其他所有模数任意两个都互质，所以最小公倍数就是其他所有模数的乘积。可以先预处理计算出M=（m₁*m₂*......m_n）,也就是先把所有模数都乘起来，那么x_i=M/m_i

3. 最小公倍数x_i不一定满足x_i%m_i=rest_i，那我们就在公倍数里找，即存在（p*x_i)%m_i=rest_i，而关键就在求出p*x_i是多少。

4. p*x_i可以通过求解同余方程p*x_i ≡ rest_i（mod m_i）求解。根据求解线性同余方程的方法，我们设p*x_i-rest_i=（-q）*m_i 然后exgcd求解即可。

5. 求解exgcd具体细节：写成标准一次式：x_i*p+m_i*q=rest_i，该等式一定有解，因为x_i=M/m_i且任意两个模数互质，所以gcd（x_i，m_i）=1，所以该方程有解。根据exgcd，我们先求出了x_i*p+m_i*q=gcd（x_i，m_i）=1的一组特解，再用解得的p乘x_i再乘rest_i即为在x_i*p+m_i*q=rest_i方程成立情况下的p*x_i，这就是我们要求的那个公倍数。

6. 按照上面的步骤，我们求出了一个满足题设某一条件的整数，然后继续考虑下一个条件。步骤相同，只需把每一步求出的整数加起来就是最后结果。

7. 如果题目是让我们求出满足条件的最小正整数，我们则需要对于每步的答案%M即可。

具体代码如下：

#include<cstdio>
int n,m[101],rest[101],M=1; 
int exgcd(int xi,int mi,int &p,int &q)//扩展欧几里得算法 
{
    if (mi==0) {p=1; q=0; return xi;}
    int d=exgcd(mi,xi%mi,p,q);
    int z=p; p=q; q=z-(xi/mi)*q;
    return d;
}
int CR()//中国剩余定理 
{
    int sum=0,p,q;
    for (int i=1;i<=n;i++)//依次考虑每一个题设 
    {
        int xi=M/m[i];//求出其余模数的最小公倍数 x
        exgcd(m[i],xi,q,p);//求解：xi*p+mi*q=gcd（xi，mi）=1
        sum=(sum+xi*p*rest[i])%M;//确保数最小 
    }
    return （sum%M+M）%M;
}
int main()
{
    scanf ("%d",&n);//输入n个题设条件
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf ("%d%d",&m[i],&rest[i]);//输入n个模数和余数 
        M*=m[i];//提前计算所以模数的积，为后面求最小公倍数做准备 
    }
    printf("%d",CR());
    return 0;
 } 

 

中国剩余定理针对于任意两个模数都互质，那么对于不都互质的同余方程组，也有求解方法：  //POJ 2891 

题目：给定2n个整数：a₁，a₂ ...... a_n , m₁,m₂ ...... m_n ,求一个最小正整数，满足：对于1<=i<=n,x≡a_i(mod m_i),或给出无解。

思路：因为不满足模数两两互质，中国剩余定理不再适用，我们考虑归纳法：假设前k-1个方程已经求出解x，M是前k-1个模数的乘积。那么前k-1个方程的通解就是x+i*M。接下来我们考虑第k个方程：求出一个t使得：x+t*M≡a_k（mod m_k），t*M≡a_k-x（mod m_k），然后就是exgcd求解这个同余方程，有解则满足（a_k-x）% gcd（t*M，m_k）== 0，否则输出-1无解。并且更新前k个方程的解，即为：x‘=x+t*M 。 这里我们需要弄清楚M的作用，即是前面所有模数的公倍数，使得我们当前枚举的这个数不会对前面的条件产生影响。所以在具体操作来更新M的时候，我们要保证求出的整数最小的要求，M_k-1更新到M_k时，我们不是直接*m_k，而是乘m_k再除以d（exgcd求出的M和m_k的最大公约数），主要因为M和m_k不一定互质，M中可能有m_k的因子，所以把它们共同因子除去不会影响结果，即：保证了M的最小性和不会对前面的条件产生影响的性质。另外，x+t*M≡a_k（mod m_k）这个式子也就告诉我们，t<=m_k,所以对于求解出来的t要对m_k取模，保证最小。

代码如下：

#include<cstdio>
typedef long long ll;
ll rest[20005],a[20005];
ll X,M,n;
ll exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (b==0) {x=1; y=0; return a;}
    ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll z=x; x=y; y=z-y*(a/b);
    return d;
}
ll work()
{
    M=a[1],X=rest[1];
    int x,y;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        ll d=exgcd(M,a[i],x,y);
        if ((rest[i]-X)%d!=0) return -1;
        x=(rest[i]-X)/d*x%a[i];
        X+=(x*M);
        M=M/d*a[i];
        X%=M;
    }
    return (X%M+M)%M;
}
int main()
{
    while (scanf ("%lld",&n)!=EOF)
    {
        for (int i=1;i<=n;i++)
              scanf ("%lld%lld",&a[i],&rest[i]);
        printf("%lld
",work());
    }
    return 0;
 }