扩展欧几里得算法（exgcd）

Posted 2021-01-04 zylak

Bezout定理：

　　对于任意整数a，b，存在一对整数x，y满足：a*x+b*y=gcd（a，b）

证明如下：

　　在欧几里得算法的最后一步：b=0，即：gcd（a，0）=a

对于b>0，根据欧几里得算法gcd（a，b）=gcd（b，a%b）。假设存在一对x，y满足：b*x+（a%b）*y=gcd（b，a%b）

因为b*x+（a%b）*y=b*x+（a-b*（a/b））*y=a*y+b*（x-（a/b）*y）   //规定这里和下一行的除号‘/‘是向下取整。

所以令x‘=y,y‘=x-(a/b)*y,就得到了a*x‘+b*y‘=gcd（a，b）。对欧几里得算法过程应用数学归纳法，该定理成立。

代码模板如下：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (b==0) return {x=1; y=0; return a;}//欧几里得算法最后一步，返回gcd(a,b)
    int d=gcd(b,a%b,x,y);//欧几里得算法递归 
    int z=x; x=y; y=z-(a/b)*y;
    return d; 
}

注意到，上述的代码中x,y均是引用的方式进行传递的，求出x,y的一组解，并且返回a,b的最大公约数d。

那么Bezout有什么具体用处呢？求解线性方程！

具体说明如下：

对于一般的方程：a*x+b*y=c 若方程有解，则满足裴蜀定理：gcd(a,b) | c ，我们可以先求出a*x+b*y=gcd(a,b)的一组特

解x₀，y₀,再令x₀，y₀同*c/d，那么就是a*x+b*y=c 的一组特解（x₀*c/d，y₀*c/d）。

乘法逆元，线性同意方程求解都是需要Bezout的。