harmakik

Posted 2021-01-04 rogerdtz

Solution

　　
　　对于原树一个节点(x)：
　　
　　(f_x(h))表示，(x)作为一个深度为(h)的点时，(x)及其子树的安排方案有多少（不考虑(x)具体在深度为(h)的哪个点）
　　　　
　　(F_x(h))表示，对于一个固定的深度为(h)的节点(y)，(x)在(y)或其子树中，(x)及其子树的安排方案有多少。
　　
　　则有关系：
[ F_x(h)=sum_{ige h}f_x(i)*2^{i-h} ]
　　对于叶子：
[ F_x(h)=[hle h_x]2^{h_x-h} ]
　　已知二者都可以表示成这些形式
[ f_x(h)=sum_{igeq 0}c_i*2^{-ih}F_x(h)=sum_{igeq 0}c_i*2^{-ih} ]
　　对于叶子(x)，赋值后直接回溯：
[ c_1=2^{h_x} ]
　　
　　依照60分DP，可以推出由儿子到自己的转移（两个(c)分别是两个(F)的(c)，(c')是转移后的(f_x)的(c)）：
[ egin{aligned} f_x(h)&=F_l(h+1)F_r(h+1)&=(sum_{igeq 0}c_i2^{-i(h+1)})(sum_{jgeq 0}c_j2^{-j(h+1)})&=(sum_{igeq 0}frac{c_i}{2^i}2^{-ih})(sum_{jgeq 0}frac{c_j}{2^j}2^{-jh})&=sum_{ige0}{c'}_i2^{-ih}\end{aligned} ]
　　当然，也可以在卷积完之后每个(c_i)除去(2^i)
　　
　　观察到这个卷积，再考虑边界，(c)的下标为(0...siz[x])，(siz[x])为(x)子树中叶子数。暴力卷积，用树上背包思路分析，这一步的复杂度是全局(mathcal O(n^2))的
　　
　　得到自己的(f)后，由于父亲要使用自己的(F)，所以根据定义式由(f)推出(F)：
[ egin{aligned} F_x(h)&=sum_{h le i<maxh}f_x(i)*2^{i-h}&=sum_{h le i<maxh}sum_{jge 0}c_j*2^{i(1-j)-h}&=sum_{jge0}frac{c_j}{2^h}sum_{h le i<maxh}(2^{(1-j)})^i&=sum_{jge0}frac{c_j}{2^h}frac{(2^{1-j})^{maxh}-(2^{1-j})^{h}}{(2^{1-j})-1}&=sum_{jge 0}c_j(frac{2^{(1-j)maxh}}{2^{1-j}-1}2^{-h}-frac{1}{2^{1-j}-1}2^{-jh}) end{aligned} ]
　　答案即(F_1(0))，(sum c_i)
　　
　　PS：(c_0)没用