反函数的求导法则
Posted 白水baishui
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了反函数的求导法则相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
如果函数
x
=
f
(
y
)
x = f(y)
x=f(y)在区间
I
y
I_y
Iy内单调、可导且
f
′
(
y
)
≠
0
f'(y) \\neq 0
f′(y)̸=0，那么它的反函数
y
=
f
−
1
(
x
)
y = f^-1(x)
y=f−1(x)在区间
I
x
=
x
∣
x
=
f
(
y
)
，
y
∈
I
y
I_x = \\x | x = f(y)，y \\in I_y\\
Ix=x∣x=f(y)，y∈Iy内也可导，且
[
f
−
1
(
x
)
]
′
=
1
f
′
(
y
)
或
d
y
d
x
=
1
d
x
d
y
[f^-1(x)]' = \\frac1f'(y) 或 \\fracdydx = \\frac1\\fracdxdy
[f−1(x)]′=f′(y)1或dxdy=dydx1
这个结论可以简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
例：
设
x
=
sin
y
，
y
∈
(
−
π
2
,
π
2
)
x = \\sin y，y \\in (-\\frac\\pi2, \\frac\\pi2)
x=siny，y∈(−2π,2π)为直接导数，则
y
=
arcsin
x
y = \\arcsin x
y=arcsinx是它的反函数，求反函数的导数.
解：函数
x
=
sin
y
x = \\sin y
x=siny在区间内单调可导，
f
′
(
y
)
=
cos
y
≠
0
f'(y) = \\cos y \\neq 0
f′(y)=cosy̸=0
因此，由公式得
(
arcsin
x
)
′
=
1
(
sin
y
)
′
(\\arcsin x)' = \\frac1(\\sin y)'
(arcsinx)′=(siny)′1
=
1
cos
y
=
1
1
−
sin
2
y
=
1
1
−
x
2
= \\frac1\\cos y = \\frac1\\sqrt1 - \\sin^2 y = \\frac1\\sqrt1- x^2
=cosy1=1−sin2y1=1−x21
如果在求解过程中遇到不好直接求出的三角函数，可以使用画三角形法求解
以上是关于反函数的求导法则的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章