[SDOI2009]Bill的挑战

Posted 2021-01-04 ivanovcraft

一看题解好像全是状压DP，那么我就来补充一个容斥写法吧

乍一看，好像是水题，枚举选哪k个串，然后判断

1，如果这k个串中至少两个串某位置确定且不相同，答案显然为0
2，如果这个位置只被有且仅有一个串确定，这个位置就唯一确定了
3，否则这个位置有26种不同填数情况，统计答案时只要用乘法原理搞一下就行

但是容易想到，这样做是有问题的，以样例的第一组数据为例
我们选定串1，2，然后发现第四个位置确定是r，其他位置任选，但是无论我们构造出怎样的串，T总是可以同时匹配串3的

考虑容斥掉这些匹配到更多串的方案

首先，我们可以用上述方法求出匹配至少i个串的方案数，记为num[i]
我们需要统计恰好满足匹配i个的情况，记为ans[i]
现在问题来了，怎么容斥

考虑ans[i]与ans[j]的联系（i>j），定义保证ans[j]是恰好匹配j个串
如果再匹配到i-j个串，就是ans[j]
在i个串中，这i-j个串的选择当然就有C(i,i-j)种方案
我们有num[j]，得出公式ans[j]=num[j]-∑C(i,i-j)*ans[i]
倒序处理ans数组即可

上代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1000003;
int t,n,k,num[20],len,c[20][20],ans[20];
char s[20][60];
int ksm(int x,int t)
{
    int ret=1;
    while(t)
    {
        if(t&1)
            ret=(ll)ret*x%mod;
        x=(ll)x*x%mod,t>>=1;
    }
    return ret%mod;
}
int check(int x)
{
    char tmp[60];
    for(int i=0;i<len;i++)
        tmp[i]=‘?‘;
    int rest=len;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(x&(1<<i))
            for(int j=0;j<len;j++)
                if(!isalpha(tmp[j])&&isalpha(s[i+1][j]))
                {
                    tmp[j]=s[i+1][j];
                    rest--;
                }
                else if(isalpha(tmp[j])&&isalpha(s[i+1][j])&&tmp[j]!=s[i+1][j])
                    return 0;
    }
    return ksm(26,rest);
}
int main()
{
    for(int i=0;i<20;i++){
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++){
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
        }
    }
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(num,0,sizeof(num));
        scanf("%d%d",&n,&k);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%s",s[i]);
        len=strlen(s[1]);
        int mul=1;
        if(k>n)
        {
            printf("0
");
            continue;
        }
        for(int i=1;i<(1<<n);i++)
        {
            int cnt=0;
            for(int j=0;j<n;j++)
                if(i&(1<<j))
                    cnt++;
            if(cnt<k)
                continue;
            (num[cnt]+=check(i))%=mod;
        }
        for(int i=n;i>=k;i--)
        {
            int sum=0;
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
                (sum+=(ll)c[j][i]*ans[j]%mod)%=mod;
            ans[i]=((num[i]-sum)%mod+mod)%mod;
        }
        printf("%d
",(ans[k]%mod+mod)%mod);
    }
    return 0;
}