数值计算中的上溢和下溢

Posted 2021-01-04 xmd-home

利用计算机实现数值计算，指的通常是利用迭代过程更新解来解决数学问题，而不是通过解析过程推到数学公式求解。常见得数值计算主要包括优化问题求解和解线性方程组。

 

上溢和下溢

通常实数在计算机内不能精确保存，利用计算机保存实数时，几乎总会引入一些近似误差。在许多情况下，这仅仅是舍入误差，舍入误差会导致一些问题。特别是在一些复合操作下， 理论上可行的算法，如果在实际中没有考虑到舍入误差的累积，在实际算法运用过程中也会导致算法的失效。

 

其中一种情况就是下溢。即有些逼近零的数，如零除或者对零取对数时，得到-，如果对负无穷进一步运算，则会得到非数字；

 

还有一种情况就是上溢。即大量级的数被近似为正负无穷时，发生上溢。发生上溢后，这些数值也会变为非数值。

 

解决数值上溢和下溢方法的一个实例是使用softmax函数。

定义为：

考虑一下，当所有xi都等于一个常数C。则softmax函数的值为1/n。

如果C很大，exp(c)的上溢会导致整个表达式未定义；

如果C是一个很小的负数，exp(c)会下溢；

解决方法，计算softmax(z)

如此，上溢的问题可以得到解决。下溢的情况也由于分母不为零解决。

But,有个小问题，当计算Log(softmax(z))时，softmax(z)可能为0，从而导致不可解。

解决方法，使用相同的技巧来解log(softmax(z))。

 

不过在多数情况下，可以简单地依赖保证数值稳定地底层库。当需要自己实现算法的时候，则需要考虑数值稳定性的问题。