数论初步

Posted 2021-01-03 sumaywlx

tips：

　　1.内容主要涉及《什么是数学》中数论的部分

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　　1.算数的基础在于：整数的加法和乘法服从某些规律（交换律、结合律、分配律）。

　　2.整数的表示：位置记法-数码

　　　　z=a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+a_n-2*10^n-2...a₁*10¹+a₀

　　　　用符号a_na_n-1...a₁a₀表示

　　3.从n到n+1，这一步接一步的程序产生了数的无限序列，有构成数学推理的一个最基本的类型

　　   数学归纳法，每一个命题都能以同样的方式由前一个命题推出。

　　4.（1+p）ⁿ>=1+np p>-1----数学归纳法证明，去掉rp²只能增强这个不等式。

　　5.二项式定理

　　6.素数：一个大于1的正整数p，它出了1和它本身外没有因子，就称它是素数。

　　7.有无穷多个素数

　　8.每一个整数都能表示成素数的乘积。

　　9.每一个比1大的整数N只能有一种方式分解成素数的乘积。---反证法

　　10.9的推论：p是ab的因子，则p必须或是a的因子或是b的因子。

　　11.任何大于2的素数都是奇数，4n+1=2n+1+2n（奇偶交替），4n+3，6n+5产生素数？

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同余：

　　1.整数a、b用d除有相同的余数---即a-b=nd成立（d是一固定整数，余数消掉了）---即a和b模d同余

　　2.三个等价命题:

　　　　　2.1 a和b是模d同余的

　　　　　2.2 存在某个整数n，使a=b+nd

　　　　　2.3 d整除a-b

　　3.同余式具有普通等式的性质

　　4.对于相同的模数，同余式可以加、减、乘

　　5.同余式乘积的用处---很厉害哦

　　6.a≡0（mod d）---a整除d

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费马定理

　　若p是任意一个不能整除整数a的素数，则ap-1≡1（mod p）---除p余1

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最大公约数（最大公因子）---辗转相除法

　1.　a=b*q+r

　　（a,b）=（b,r）---a和b的全体公因子集合与b和r的全体公因子集合相同---（a，b）=（r_n，0）=r_n

　2.如果d=（a，b），则能找到正的或负的整数k和l，使d=ka+lb

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欧拉函数

　　（a，b）=1---a和b互素

　　Ψ（n）表示在1到n中与n互素的整数的个数

　　若n是素数，则Ψ（n）=n-1

　　若n是合数，则有个公式

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反演

　　反演的性质：

　　　　1.过O的直线变成过O的直线

　　　　2.不过O的直线变成过O的圆

　　　　3过O的圆变成不过O的直线

　　　　4.不过O的圆变成不过O的圆

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还有一些证明要琢磨，也还有一些有趣的知识点还没看。