图论算法与模型（训练指南题库）

Posted 2021-01-03 fzl194

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了图论算法与模型（训练指南题库）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

一、基础题目

1、UVA 11624 Fire！迷宫问题多源BFS

题意：

帮助joe走出一个大火蔓延的迷宫，其中joe每分钟可往上下左右四个方向之一走，所有着火的格子都会蔓延（空格与着火格有公共边，下一分钟这个空格也会着火）。迷宫中有一些障碍格，joe和火都无法进入，当joe走到一个边界的格子我们认为他走出了迷宫

输出R行C列的迷宫，#表示墙，.表示空地，J表示joe，F是着火格

如果能走出，输出最少时间否则，impossible

思路：

先预处理出每个点的起火时间，可以用多源点BFS直接处理出来

再用BFS求从出发点到边界的最短路，每次扩展点的时候保证走到该点的时间严格小于该点起火时间

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/R4bpSJDGvP/

2、UVA 10047 The Monocycle 迷宫问题复合状态

题意：

从起点到终点，每秒可以选择前进、向左、向右转，每前进一格轮子转到下一个颜色，一共5种颜色，开始的时候绿色接触地面，朝北，要求最后也绿色接触地面，求能否到达目标点以及最短时间。

思路：

BFS 多了两维状态直接模拟即可

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/QRDxqFxN6F/

3、UVA 10054 The Necklace 欧拉回路

题意：

n个珠子，每个珠子的两半由不同的颜色组成。只有相同的颜色才能接在一起，问能否组成一个一个项链。

思路：

判断每个点的度数均为偶数个，判断图联通，注意有重边。然后用刘汝佳的欧拉回路模板即可。

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/9VPsbRh53M/

4、UVALive 4255 Guess 拓扑排序

题意：

对于一个序列a1,a2,a3,….an，我们可以计算出一个符号矩阵S，就是上面右图矩阵，其中S(i,j)表示 ai+…+aj的正负号，给出序列不难求出矩阵，我们的任务是求出“逆问题”，即给出矩阵，求出序列，序列每个值大于-10小于10；

思路：

拓扑排序即可，主意需要用Kahn算法进行拓扑排序，因为有多个入度为0的点的话，必须设置成权值一样的点。

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/VwF7NcWZnx/

5、UVAlive 3523 Knights of the Round Table 二分图+双连通分量

题意：

有 $n (n \leq 1000)$

思路：

首先建图，两个骑士可以相邻，那么就连边。那么题目转化成求不在任何一个简单奇圈上的节点的个数。如果图G不连通，那么分成几个连通分量来求解。

假设图G连通，那么简单圈上的点必然属于一个双连通分量，所以先找出所有双连通分量。

二分图的充要条件是没有奇圈，可以很明显的得到：如果一个双连通分量是二分图，那么里面的点一定不在奇圈上。

如果一个双连通分量不是二分图，那么里面的点会在奇圈上吗？

答案是一定在奇圈上，首先双连通分量不是二分图，那么里面一定存在一个奇圈C。对于这个连通分量里面的点，有两种状态，在C上和不在C上。

在C上的话，本身C就是一个奇圈

不在C上的话，可以构造出一个奇圈出来。在C上取两点u1和u2，u1到u2有两条不相交路径，并且长度为一奇一偶，对于C外的任意一点v，由于是在双连通分量内，v到u1，v到u2有不相交的两条路径，这样的话，由于u1到u2之间既有偶数长度的路径，也有奇数长度的路径，所以v一定可以和u1 u2构造出奇圈出来。

整理一下思路就是首先求出所有的双连通分量，再判断这个双连通分量是不是二分图，如果不是二分图，那么该连通分量里面的点都为可以在奇圈的点，处理出所有可以在奇圈上的点之后，再算出不可以在奇圈上的点的数目即可。