关于割点和桥的整理

Posted neworld2002

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了关于割点和桥的整理相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

定义及概念

在一个无向图G中,存在一个点集V,从图G中删掉所有属于V的点及其与之相连的边,G不连通。如果有一个边集E,删掉所有属于这个集合的边,G不连通。

  • 点连通度:最小V的点数
  • 边连通度:最小E的边数
  • 割点:点连通度为1时,V的唯一元素
  • 割边(桥):边连通度为1时,E的唯一元素
  • 点双连通:任意两点间,存在两条或以上路径,且路径上的点互不重复。(点连通度大于1即可)
  • 边双连通:任意两点间,存在两条或以上路径,且路径上的边互不重复。(边连通度大于1即可)
  • 双连通分量:在图G中的子图G‘,是一个双连通子图,它不是其他双连通子图的真子集,则它是一个双连通分量。
  • 边双连通分量一定是点双连通,反之不成立。如下图,不存在割点,即为点双连通,但不是边双连通。

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推论

  • 有割点不一定有割边

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  • 有割边不一定有割点

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  • 两个割点之间的边不一定是割边

  • 割边的端点不一定是割点

  • 一个图可能有多个割点,有多个桥

tarjan算法

定义

  • 树枝边:DFS搜索树上的边
  • 前向边:与DFS方向相同的边
  • 返祖边:与DFS方向相反的边

割点

  • 关于DFS搜索树的根节点,如果它有两棵或两棵以上的子树,则它是割点。
    • DFS树不存在横叉边,所以多棵子树不可能通过直接连通。
  • 关于其他节点,如果其子孙的返祖边,只能连到自己或自己的子孙,而连不到它的祖先,那此节点为割点。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MAXN 100005

int head[MAXN];
struct edge{
    int v,next;
}G[MAXN<<1];
int tot = 0;

int dfn[MAXN],low[MAXN],num = 0;
int ans[MAXN];

int N,M;

inline void add(int u,int v){
    G[++tot].v = v;G[tot].next = head[u];head[u] = tot;
}
void tarjan(int u,int fa){

    dfn[u] = low[u] = ++num;
    int count = 0;//统计子树数量
    for(register int i=head[u];i;i=G[i].next){
        int v = G[i].v;
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v,u);
            ++count;//子树数量+1
            low[u] = std::min(low[u],low[v]);
            if(low[v]>=dfn[u]&&u!=fa)ans[u] = 1;// 如果u不是根节点
        }
        low[u] = std::min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(count>=2&&u==fa)ans[u] = 1;//如果u是根节点,且有两个及两个以上的子树
}

int main(){
    
    std::memset(head,0,sizeof(head));
    std::memset(ans,0,sizeof(ans));
    std::memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    
    scanf("%d%d",&N,&M);
    int u,v;
    for(register int i=1;i<=M;++i){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);add(v,u);
    }
    
    for(register int i=1;i<=N;++i){
        if(!dfn[i])tarjan(i,i);
    }
    
    int count = 0;
    for(register int i=1;i<=N;++i){
        if(ans[i])++count;
    }
    printf("%d
",count);
    for(register int i=1;i<=N;++i){
        if(ans[i])printf("%d ",i);
    }
    return 0;
}

割边

  • 返祖边:一定不是割边,删掉此边后不影响图连通。
  • 关于一条边(u,v),若此边之下的子树有返祖边,且这条返祖边能回到u的祖先及u,则不是割边

以上是关于关于割点和桥的整理的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

割点和桥

关于tarjan

图论:割点和桥

图的联通-割点和桥

tarjan求割点和桥(割边)模板

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