关于割点和桥的整理

Posted 2021-01-03 neworld2002

定义及概念

在一个无向图G中，存在一个点集V，从图G中删掉所有属于V的点及其与之相连的边，G不连通。如果有一个边集E，删掉所有属于这个集合的边，G不连通。

• 点连通度：最小V的点数
• 边连通度：最小E的边数
• 割点：点连通度为1时，V的唯一元素
• 割边（桥）：边连通度为1时，E的唯一元素
• 点双连通：任意两点间，存在两条或以上路径，且路径上的点互不重复。（点连通度大于1即可）
• 边双连通：任意两点间，存在两条或以上路径，且路径上的边互不重复。（边连通度大于1即可）
• 双连通分量：在图G中的子图Ｇ‘，是一个双连通子图，它不是其他双连通子图的真子集，则它是一个双连通分量。
• 边双连通分量一定是点双连通，反之不成立。如下图，不存在割点，即为点双连通，但不是边双连通。

推论

• 有割点不一定有割边

• 有割边不一定有割点

• 两个割点之间的边不一定是割边

• 割边的端点不一定是割点

• 一个图可能有多个割点，有多个桥

tarjan算法

定义

• 树枝边：DFS搜索树上的边
• 前向边：与DFS方向相同的边
• 返祖边：与DFS方向相反的边

割点

• 关于DFS搜索树的根节点，如果它有两棵或两棵以上的子树，则它是割点。
  • DFS树不存在横叉边，所以多棵子树不可能通过直接连通。
• 关于其他节点，如果其子孙的返祖边，只能连到自己或自己的子孙，而连不到它的祖先，那此节点为割点。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MAXN 100005

int head[MAXN];
struct edge{
    int v,next;
}G[MAXN<<1];
int tot = 0;

int dfn[MAXN],low[MAXN],num = 0;
int ans[MAXN];

int N,M;

inline void add(int u,int v){
    G[++tot].v = v;G[tot].next = head[u];head[u] = tot;
}
void tarjan(int u,int fa){

    dfn[u] = low[u] = ++num;
    int count = 0;//统计子树数量
    for(register int i=head[u];i;i=G[i].next){
        int v = G[i].v;
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v,u);
            ++count;//子树数量+1
            low[u] = std::min(low[u],low[v]);
            if(low[v]>=dfn[u]&&u!=fa)ans[u] = 1;// 如果u不是根节点
        }
        low[u] = std::min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(count>=2&&u==fa)ans[u] = 1;//如果u是根节点，且有两个及两个以上的子树
}

int main(){
    
    std::memset(head,0,sizeof(head));
    std::memset(ans,0,sizeof(ans));
    std::memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    
    scanf("%d%d",&N,&M);
    int u,v;
    for(register int i=1;i<=M;++i){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);add(v,u);
    }
    
    for(register int i=1;i<=N;++i){
        if(!dfn[i])tarjan(i,i);
    }
    
    int count = 0;
    for(register int i=1;i<=N;++i){
        if(ans[i])++count;
    }
    printf("%d
",count);
    for(register int i=1;i<=N;++i){
        if(ans[i])printf("%d ",i);
    }
    return 0;
}

割边

• 返祖边：一定不是割边，删掉此边后不影响图连通。
• 关于一条边(u,v)，若此边之下的子树有返祖边，且这条返祖边能回到u的祖先及u，则不是割边