bzoj3438: 小M的作物（最小割）

Posted 2021-01-03 bztminamoto

传送门

 

为什么大爷们一眼就能看出这题是最小割，我却要仔细思考（并看了眼题解）才能发现……

首先把$S$当做$A$，$T$当做$B$，然后$S$向对应的点连边容量为种在$A$的获利，连$T$同理。这样只要用全部收益减去最小割就是答案

然后考虑一下组合。我们对于每一个组合拆点，从$S$向入点连边容量为收益，然后入点向对应的所有点连边，容量$inf$，所有点向出点连边，容量$inf$，出点向$T$连边，容量为种在$B$的收益。然后还是用总收益减去最小割

为什么？我抄的你问我为什么……

先假设有这么个图，$A,B$是一个组合，$X,Y$是组合拆出来的点，标红的边因为容量为$inf$不可能被割

那么我们割的方法有三种

1.两个都在$B$，割$S->X,S->A,S->B$，就代表所有的都与$S$断开，也就是所有都与$T$相连，即种在$B$里，那么总收益减去最小割就是都在$B$的答案

2.两个都在$A$，割$Y->T,A->T,B->T$，与上面同理

3.一个$A$一个$B$，我们设$A$种在$S$，$B$种在$T$，那么割掉$S->X,S->B,A->T,Y->T$，那么就是$A$与$S$连，$B$与$T$连，然后总收益减去最小割就是答案

不难发现，每一个割都代表了一种选择，然后基本就是跑一个最小割了

ps：这题注意，空间要开的很大

 1 //minamoto
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cstring>
 5 #include<queue>
 6 #define inf 0x3f3f3f3f
 7 using namespace std;
 8 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 9 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
10 inline int read(){
11     #define num ch-‘0‘
12     char ch;bool flag=0;int res;
13     while(!isdigit(ch=getc()))
14     (ch==‘-‘)&&(flag=true);
15     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
16     (flag)&&(res=-res);
17     #undef num
18     return res;
19 }
20 const int N=10005,M=4000005;
21 int head[N],Next[M],ver[M],edge[M],tot=1;
22 int cur[N],dep[N],n,m,S,T,num;
23 queue<int> q;
24 inline void add(int u,int v,int e){
25     ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot,edge[tot]=e;
26     ver[++tot]=u,Next[tot]=head[v],head[v]=tot,edge[tot]=0;
27 }
28 bool bfs(){
29     while(!q.empty()) q.pop();
30     for(int i=0;i<=num;++i) cur[i]=head[i];
31     memset(dep,-1,sizeof(dep));
32     q.push(S),dep[S]=0;
33     while(!q.empty()){
34         int u=q.front();q.pop();
35         for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
36             int v=ver[i];
37             if(dep[v]<0&&edge[i]){
38                 dep[v]=dep[u]+1,q.push(v);
39                 if(v==T) return true;
40             }
41         }
42     }
43     return false;
44 }
45 int dfs(int u,int limit){
46     if(u==T||!limit) return limit;
47     int flow=0,f;
48     for(int i=cur[u];i;i=cur[u]=Next[i]){
49         int v=ver[i];
50         if(dep[v]==dep[u]+1&&(f=dfs(v,min(limit,edge[i])))){
51             flow+=f,limit-=f;
52             edge[i]-=f,edge[i^1]+=f;
53             if(!limit) break;
54         }
55     }
56     if(!flow) dep[u]=-1;
57     return flow;
58 }
59 int dinic(){
60     int flow=0;
61     while(bfs()) flow+=dfs(S,inf);
62     return flow;
63 }
64 int sum;
65 int main(){
66     //freopen("testdata.in","r",stdin);
67     n=read(),S=0,T=n+1;
68     for(int i=1,x;i<=n;++i) x=read(),sum+=x,add(S,i,x);
69     for(int i=1,x;i<=n;++i) x=read(),sum+=x,add(i,T,x);
70     m=read(),num=n+2*m+1;
71     for(int i=1;i<=m;++i){
72         int k=read(),x=read(),y=read();
73         sum+=x+y;
74         add(S,n+1+i,x),add(n+m+1+i,T,y);
75         while(k--){
76             int t=read();
77             add(n+i+1,t,inf),add(t,n+m+i+1,inf);
78         }
79     }
80     printf("%d
",sum-dinic());
81     return 0;
82 }