hdu4734F(x)数位dp + 小小的总结一下

Posted 2020-10-13

(https://www.pixiv.net/member_illust.php?mode=medium&illust_id=65608478)

Problem Description

For a decimal number x with n digits (A_nA_n-1A_n-2 ... A₂A₁), we define its weight as F(x) = A_n * 2^n-1 + A_n-1 * 2^n-2 + ... + A₂ * 2 + A₁ * 1. Now you are given two numbers A and B, please calculate how many numbers are there between 0 and B, inclusive, whose weight is no more than F(A).

Input

The first line has a number T (T <= 10000) , indicating the number of test cases.
For each test case, there are two numbers A and B (0 <= A,B < 10⁹)

Output

For every case,you should output "Case #t: " at first, without quotes. The t is the case number starting from 1. Then output the answer.

Sample Input

3

0 100

1 10

5 100

Sample Output

Case #1: 1

Case #2: 2

Case #3: 13

---

 

（终于找到时间写数位dp了。。）

 

先总结一下数位dp的套路。

通常情况下，数位dp用于统计个数，其实是暴力枚举的优化。

 

想想面对一道数位dp的题，如果暴力做会怎么做？for每一个数，判断是否合法。但是我们发现：例如当枚举到 23456 和 33456 时，后面的部分“3456”是相同的，也就是说我们多枚举了很多次相同的情况，这时候就可以考虑用dp（记忆化）来优化。当需要用上一个状态很多次的时候，就可以考虑dp。

 

所以数位dp的套路一般是：

f[pos][...]，dfs(pos,...,limit,[zero])

表示：当前位，一些需要用到的状态，是否顶着上限，[是否有前导零（根据题目需要）]

当没有限制的时候，就记忆化

 

而这道题也符合这个套路，只不过状态稍微和平常的不一样。

通常的状态是和前面的位置上的值有关，但是考虑这道题该如何储存状态才能方便转移呢？

首先，这个二进制一定有鬼！（但是想偏了）发现数据最高位才9，2⁹是一个很小的数。而这道题的比较对象是一个数值，所以转移的状态需要和数值有关。思考当我们已经枚举了前i位分别是那些数，相当于已经得到了前i位的fi值，如果要优化，就是直接调用“后面的数中的f值小于f(a)-fi的个数”。

 

所以状态记录为：

f[pos][sum]

表示第pos位，后面的数的值小于等于sum的数的个数

 

这样就很简单啦

（但是思路还是很巧妙的，所以要总结一下）

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 
 6 int f[11][10000],a,b,len,orz[11],sum,mi[11];
 7 
 8 int dfs(int pos,int pre,bool limit){
 9     if(pos==0){
10         if(pre<=sum) return 1;
11         return 0;
12     }
13     if((!limit)&&f[pos][sum-pre]!=-1) return f[pos][sum-pre];
14     int st=limit?orz[pos]:9;
15     int ans=0;
16     for(int i=0;i<=st;i++)
17         if(pre+i*mi[pos]<=sum) ans+=dfs(pos-1,pre+i*mi[pos],limit&&i==st);
18     if(!limit) f[pos][sum-pre]=ans;
19     return ans;
20 }
21 int main(){
22     memset(f,-1,sizeof(f));
23     mi[1]=1;
24     for(int i=2;i<=10;i++) mi[i]=mi[i-1]*2;
25     int t;
26     scanf("%d",&t);
27     for(int k=1;k<=t;k++){
28         scanf("%d%d",&a,&b);
29         sum=0;
30         for(int i=a,j=1;i;i/=10,j++) sum+=mi[j]*(i%10);//printf("sum=%d\\n",sum);
31         for(len=0,b;b;b/=10) orz[++len]=b%10;
32         printf("Case #%d: %d\\n",k,dfs(len,0,1)); 
33     }
34     return 0;
35 } 

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