乘法逆元

Posted 2021-01-03 zylak

　　一般的，对于加减乘的运算取模没有太多限制，而且通过欧拉定理的推论，我们也可以对乘方运算取模达到减少运算次数的目的。但是对于除法运算：

显然：a/b≠( (a%mod)/(b%mod) )%mod 那么如果遇到需要缩小数据范围的时候，就要用的接下来讲的乘法逆元。

 

乘法逆元：

　　根据需要，我们需要取模，并且保证余数不变（不影响正确答案）。所以我们假设：a/b≡a*x(mod p) 容易看出，x符合我们想要的数的性质。于是，乘

法逆元定义如下：若整数b,m互质，并且b|a,则存在一个整数x使得a/b≡a*x(mod p)，称x是b的模p的乘法逆元  记为b^-1（mod p）

对a/b≡a*x(mod p)变形：（a/b）≡（a/b）*b*x(mod p)，所以b*x≡1(mod p)

即有：b*b^-1≡1(mod p)若p为质数，根据费马小定理：b^p-1≡1（mod p），即：b*b^p-2≡1（mod p） 所以，b^p-2此时就是b的乘法逆元（p为质数）。

如果只是保证b，m互质，那么我们也可以通过求解同余方程：b*x≡1(mod p)，x即为乘法逆元。

 

以后再遇到a/b这样的除式，先把a，b各自先对mod取模，求出b的乘法逆元（b^-1），然后把（a*b^-1）% mod做为结果。当然前提是b,m互质，并且b|a

另外，如果模数是质数，那b，m互质就等价于b不是m的倍数。