乘法逆元

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了乘法逆元相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

  一般的,对于加减乘的运算取模没有太多限制,而且通过欧拉定理的推论,我们也可以对乘方运算取模达到减少运算次数的目的。但是对于除法运算:

显然:a/b≠( (a%mod)/(b%mod) )%mod 那么如果遇到需要缩小数据范围的时候,就要用的接下来讲的乘法逆元。

 

乘法逆元:

  根据需要,我们需要取模,并且保证余数不变(不影响正确答案)。所以我们假设:a/b≡a*x(mod p) 容易看出,x符合我们想要的数的性质。于是,乘

法逆元定义如下:若整数b,m互质,并且b|a,则存在一个整数x使得a/b≡a*x(mod p),称xb的模p的乘法逆元  记为b-1(mod p)

a/b≡a*x(mod p)变形:(a/b)≡(a/b)*b*x(mod p),所以b*x≡1(mod p)

即有:b*b-1≡1(mod p)p为质数,根据费马小定理:bp-1≡1(mod p),即:b*bp-2≡1(mod p) 所以,bp-2此时就是b的乘法逆元(p为质数)。

如果只是保证b,m互质,那么我们也可以通过求解同余方程:b*x≡1(mod p)x即为乘法逆元。

 

以后再遇到a/b这样的除式,先把a,b各自先对mod取模,求出b的乘法逆元(b-1,然后把(a*b-1)% mod做为结果。当然前提是b,m互质,并且b|a

另外,如果模数是质数,那b,m互质就等价于b不是m的倍数。


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