线性同余方程的求解

Posted zylak

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了线性同余方程的求解相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

  在乘法逆元里我们对于仅满足b,m互质的情况,我们需要求解的是一个同余方程:b*x≡1(mod m),那么接下来我们就讨论一下类似的线性同余方程的求解。

 

线性同余方程:

  给定整数a,b,m,求一个整数满足:a*x≡b(mod m),或给出无解。

  因为未知数的次数为1,所以我们称之为线性同余方程。

求解过程:

  a*x≡b(mod m)可以说明a*x-bm的倍数,所以我们不妨设a*x-b=-y*m,即:a*x+m*y=b 根据Bezout定理证明过程,我们可以知道这个方程有解的条件是:

gcd(a,m)| b 接下来类似于Bezout算法求解:先求出一组特解x0,y0满足a*x0+m*y0=gcd(a,m),然后x=x0/gcd(a,m)*b就是线性同余方程的一个解。

  方程的通解则是模m/gcd(a,m)与x同余的整数。

 

下面给出一道求解同余方程的裸题://NOIP 2012  http://www.nyzoj.com:5283/problem/1124

题目

求关于 x 的同余方程 ax1(modb的最小正整数解。

输入

  • 输入只有一行,包含两个正整数 a,b用一个空格隔开。

输出

  • 输出只有一行,包含一个正整数 x0,即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

样例一

input

3 10

output

7

限制与约定

  • 对于 40% 的数据,有 2≤b≤1000
  • 对于 60% 的数据,有 2≤b≤50000000
  • 对于 100% 的数据,有 2≤a,b≤2000000000;

时间限制:1s

空间限制:128MB

#include<cstdio>
typedef long long ll;
ll a,b,x,y;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if (b==0){x=1;y=0;    return a;}
    ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll z=x; x=y; y=z-(a/b)*y;
    return d;
}
int main()
{
    scanf ("%lld%lld",&a,&b);
    exgcd(a,b,x,y);
    printf("%lld",(x%b+b)%b);
    return 0;
}

 


以上是关于线性同余方程的求解的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

线性同余方程组

POJ 1061 - 青蛙的约会 - [exgcd求解一元线性同余方程]

求解模线性方程

NEFU 84 - 五指山 - [exgcd求解一元线性同余方程]

《夜深人静写算法》数论篇 - (11) 线性同余

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