线性同余方程的求解

Posted 2021-01-03 zylak

　　在乘法逆元里我们对于仅满足b，m互质的情况，我们需要求解的是一个同余方程：b*x≡1（mod m），那么接下来我们就讨论一下类似的线性同余方程的求解。

 

线性同余方程：

　　给定整数a，b，m，求一个整数满足：a*x≡b（mod m），或给出无解。

　　因为未知数的次数为1，所以我们称之为线性同余方程。

求解过程：

　　a*x≡b（mod m）可以说明a*x-b是m的倍数，所以我们不妨设a*x-b=-y*m，即:a*x+m*y=b 根据Bezout定理证明过程，我们可以知道这个方程有解的条件是：

gcd（a，m）| b 接下来类似于Bezout算法求解：先求出一组特解x₀,y₀满足a*x₀+m*y₀=gcd（a，m），然后x=x₀/gcd（a，m）*b就是线性同余方程的一个解。

　　方程的通解则是模m/gcd（a，m）与x同余的整数。

 

下面给出一道求解同余方程的裸题：//NOIP 2012  http://www.nyzoj.com:5283/problem/1124

题目

求关于 x 的同余方程 $\mathrm{ax\equiv 1(modb) 的最小正整数解。}$

输入

• 输入只有一行，包含两个正整数 a,b用一个空格隔开。

输出

• 输出只有一行，包含一个正整数 x₀，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

样例一

input

3 10

output

7

限制与约定

• 对于 40% 的数据，有 2≤b≤1000；
• 对于 60% 的数据，有 2≤b≤50000000；
• 对于 100% 的数据，有 2≤a,b≤2000000000;

---

时间限制：$\mathrm{1s}$

空间限制：$\mathrm{128MB}$

#include<cstdio>
typedef long long ll;
ll a,b,x,y;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if (b==0){x=1;y=0;    return a;}
    ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll z=x; x=y; y=z-(a/b)*y;
    return d;
}
int main()
{
    scanf ("%lld%lld",&a,&b);
    exgcd(a,b,x,y);
    printf("%lld",(x%b+b)%b);
    return 0;
}