poj 1845 Sumdiv（约数和，乘法逆元）

Posted 2021-01-03 zylak

题目：

　　求A^B的正约数之和。

输入：

　　A，B（0<=A，B<=5*10⁷）

输出：

　　一个整数，A^B的正约数之和 mod 9901。

 

思路：

　　根据正整数唯一分解定理，若一个正整数表示为：A=p₁^c₁ * p₂^c₂ * ...... p_m^c_m 则其正约数之和可以表示为：S=（1+p₁+p₁^2+......p₁^c₁)*（1+p₂+p₂^2+......p₂^c₂)*......（1+p_m+p_m^2+......p_m^c_m)

那么A^B就可以表示为：S‘=（1+p₁+p₁^2+......p₁^(c₁*B))*（1+p₂+p₂^2+......p₂^(c₂*B))*......（1+p_m+p_m^2+......p_m^（c_m*B))

这样，我们发现每一项（以第一项为例）（1+p₁+p₁^2+......p₁^(c₁*B))是一个等比数列，根据求和公式易得：（p₁^(c₁*B+1)-1）/（p₁-1）同理，后面的式子也是。那么接下来我们可以通过快速幂求解分子

部分。分母部分需要用到（p₁-1）的乘法逆元。因为模数9901是质数，所以只要（p₁-1）不是9901的倍数，那么它们就互质，根据费马小定理，乘法逆元就是（p₁-2）。特别的，如果（p₁-1）是9901

的倍数，那么就有（p₁-1）|  9901，即：p₁%9901=1，所以这一项就变成了：（1+1+1^2+……+1^(c₁*B))%9901=(c₁*B)+1 (mod 9901) 。具体代码如下：

#include<cstdio>
const int mod=9901;
typedef long long ll;
int a,b,ans=1;
int factor[1000005],fc[1000005],cnt;
void div(int x)
{
    for (int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if (x%i==0) 
        {
            factor[++cnt]=i;
            while (x%i==0) x/=i,fc[cnt]++;
        }
    }
    if (x>1) factor[++cnt]=x,fc[cnt]=1;
}
int ksm(int a,ll b)
{
    int re=1;
    while (b)
    {
        if (b&1) re=(1ll*re*a)%mod;
        a=(1ll*a*a)%mod; b>>=1;
    }
    return re;
}
int main()
{
    scanf ("%d%d",&a,&b);
    div(a);
    for (int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        int fac=factor[i];
        if ((fac-1) % 9901 == 0)//特判分母是否是9901的倍数
        {
            ans = (ans%mod * (1ll*b*fc[i]+1)%mod) % mod;
            continue;
        }
        int fm=( ksm(fac,1ll*b*fc[i]+1)-1+mod )%mod;//分母
        int fzny=( ksm(fac-1,mod-2) )%mod;//分子逆元
        ans = (1ll*ans * fm%mod * fzny%mod)%mod;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}