线段树--从入门到精通

Posted 2021-01-03 rmy020718

线段树，强大的数据结构，用处也是比较广的。

 

首先，我们要明白线段树是个啥？

线段树，线段嘛，有左右端点，那么它当然可以代表一个区间，那么区间上的好多事情都可以用它来搞，比如：区间加，区间乘，区间求和。

 

首先让我们先看个线段树的模型。

 

如图，这就是一棵线段树的模型。

圈内的点表示这是第几个点，红色表示这个点表示的区间范围。

每个点和它的左右两个儿子的编号是有一定的关系的：

点N，它的左儿子编号为N$ imes$2,右儿子编号为N$ imes$2+1.

 

线段树支持单点修改，区间修改，单点查询，区间查询。

讲解有易到难。

先放一张后边当例子讲解的图(每个圈中的数表示的为这个区间的和)。

构建线段树框架

假设一段长度为 N 的序列，那么我们需要维护总长为 1--N 的线段。

对于每一个点，我们需要确定它所表示的线段的 左端点 右端点 以及我们要维护的区间和

对于每个点的左儿子和右儿子来说，左儿子继承前一半 [L,(L+R)/2]，右儿子继承后一半( (L+R)/2,R ]。

还有我们维护的区间和，每个大区间都是有两个小区间组成，那么 大区间的和 = 左儿子的和+右儿子的和。

这部分代码：

struct ahah{
    long long l,r,sum,f;　　//对于 f 的作用，后边会有解释，此处忽略。
}tree[200000<<2];　　　　注意此处四倍空间。
void build(int k,int l,int r)
{
    tree[k].l=l;tree[k].r=r;
    if(tree[k].l==tree[k].r)
    {
        scanf("%lld",&tree[k].sum);
        return ;
    }
    long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    build(k<<1,l,mid);
    build(k<<1|1,mid+1,r);
    tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;
}

 

单点查询与修改

单点修改，我们已知单点的位置，那么我们从一号点开始，根据两个儿子所代表的区间范围，选择下一步是走左儿子还是右儿子，今儿一步步的确定准确的点。

单点查询与单点修改几乎一样，查询到具体的位置后，输出其结果。

拿上边的图进行模拟下：

修改4号点：左儿子[0,4],右儿子[5,8] ->选择左儿子 ->左儿子[0,2],右儿子[3,4] ->选择右儿子 ->... -> 找到4号点修改。

查询同上。

当我们修改完某个点以后，包含这个点的区间的和发生了改变，所以最后我们还要加一句：

$tree[k].sum=tree[k imes 2].sum+tree[k imes 2+1].sum$ 以确保维护的区间和不会改变。

代码：k表示点的编号，需要给x号点加上y 。

void update(int k)
{
    if(tree[k].l==tree[k].r)
    {
        tree[k].sum+=y;
        return ;
    }
    long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    if(x<=mid)update(k<<1);
    else update(k<<1|1);
    tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;
}

 

区间求和与修改

区间修改与查询也有很大的相似。

区间修改，暂时来说我们没有好办法，只能一个一个的修改区间中的每一个元素，后边会有优秀做法的讲解。

区间查询，我们需要明确这个被查询的区间位置。

以下被查询的区间用[a,b]表示,k表示当前的点的编号。

首先我们从最大的区间开始，判断被查询的区间，有三种情况：

1.位于左儿子中($b le tree[k<<1].l $)还是右儿子中($a > tree[k<<1|1].l $)，然后选择下一步是去左儿子还是右儿子。

2.被查询的区间被两部分都包括，那么我们就将区间分开，一部分查询左区间，一部分查询右区间。

3.现在的点所代表的区间$(a <= tree[k].l  , b >= tree[k].r )$ 被要查询的区间所包含，那么不需要再查下去，直接将答案加上这段区间所维护的和就好了。

拿查询区间[3,5]模拟一下：

mid表示当前区间的二分点。

　　　　

 

代码用递归实现：

void query(int k)
{
    if(x<=tree[k].l&&y>=tree[k].r)
    {
        ans+=tree[k].sum;
        return ;
    }
    if(tree[k].f)down(k);    //先省略就好。
    long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    if(x<=mid)query(k<<1);
    if(y>mid)query(k<<1|1);
}

 

重点来了：懒标记

对于区间修改来说，我们一个一个的修改浪费大量的时间，并且修改了还不一定查修这个点，为了解决这个问题，我们引入懒标记 f 。

首先我们要明确他的一个性质: 懒，用得着的时候动一下，用不着的时候就永远在那。

每个节点的的懒标记记录的是它所代表的这个区间所加的值 f 。

就像区间查询一样，当区间不被包含时，分开查找，当目前区间已被要修改的区间包含时，那么我们就可以直接给这个点，打上懒标记，不需要去准确的一个一个的修改区间内的元素了。

那这样的话必究没法维护区间和了？

我们维护区间和为的是啥？当然是为了求区间和了，当我们在查询的时候，若用得到这整个区间，那么返回 维护的值 + 区间元素个数$ imes$懒标记的值，若不全用得到的话，那么我们将懒标记下传给它的左右两个儿子，然后继续查找。区间和并不是没有维护，而是在维护懒标记从而间接地维护者区间和。

这里需要注意的是：当节点的懒标记下传给儿子的时候它的懒标记则需要清空，因为已经传给了儿子。

蓝标即下传代码：

void down(long long k)
{
    tree[k<<1].f+=tree[k].f;
    tree[k<<1|1].f+=tree[k].f;
    tree[k<<1].sum+=(tree[k<<1].r-tree[k<<1].l+1)*tree[k].f;
    tree[k<<1|1].sum+=(tree[k<<1|1].r-tree[k<<1|1].l+1)*tree[k].f;
    tree[k].f=0;
}

 

用到蓝标即的区间加以及求和：

void query(int k)
{
    if(x<=tree[k].l&&y>=tree[k].r)
    {
        ans+=tree[k].sum;
        return ;
    }
    if(tree[k].f)down(k);
    long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    if(x<=mid)query(k<<1);
    if(y>mid)query(k<<1|1);
}
void add(long long k)
{
    if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y)
    {
        tree[k].sum+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*val;
        tree[k].f+=val;
        return ;
    }
    if(tree[k].f) down(k);
    long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    if(x<=mid)add(k<<1);
    if(y>mid)add(k<<1|1);
    tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;
}

综上就是先对简单的线段树操作。

贴上模板：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

long long n,m,ans,x,y,ch,val;
struct ahah{
    long long l,r,sum,f;
}tree[200000<<2];
void build(int k,int l,int r)
{
    tree[k].l=l;tree[k].r=r;
    if(tree[k].l==tree[k].r)
    {
        scanf("%lld",&tree[k].sum);
        return ;
    }
    long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    build(k<<1,l,mid);
    build(k<<1|1,mid+1,r);
    tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;
}
void update(int k)
{
    if(tree[k].l==tree[k].r)
    {
        tree[k].sum+=y;
        return ;
    }
    long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    if(x<=mid)update(k<<1);
    else update(k<<1|1);
    tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;
}
void down(long long k)
{
    tree[k<<1].f+=tree[k].f;
    tree[k<<1|1].f+=tree[k].f;
    tree[k<<1].sum+=(tree[k<<1].r-tree[k<<1].l+1)*tree[k].f;
    tree[k<<1|1].sum+=(tree[k<<1|1].r-tree[k<<1|1].l+1)*tree[k].f;
    tree[k].f=0;
}
void query(int k)
{
    if(x<=tree[k].l&&y>=tree[k].r)
    {
        ans+=tree[k].sum;
        return ;
    }
    if(tree[k].f)down(k);
    long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    if(x<=mid)query(k<<1);
    if(y>mid)query(k<<1|1);
}
void add(long long k)
{
    if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y)
    {
        tree[k].sum+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*val;
        tree[k].f+=val;
        return ;
    }
    if(tree[k].f) down(k);
    long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    if(x<=mid)add(k<<1);
    if(y>mid)add(k<<1|1);
    tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        ans=0;
        cin>>ch>>x>>y;
        if(ch==1)
        {
            cin>>val;
            add(1);
        }
        else
        {
            query(1);
            cout<<ans<<"
";
        }
    }
}

 

例题：

入门

模板：洛谷线段树1：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3372

单点修改与区间查询：最大数https://www.luogu.org/problemnew/show/P1198

进阶：

妖梦斩木棒：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3797

无聊的数列：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1438