一些期望问题

Posted 2021-01-03 rush-d-cat

算贡献

算贡献通常会用到如下结论

(E(X+Y)=E(X)+E(Y))

但是(E(XY))不一定等于(E(X)E(Y)),等号成立的条件是，(X,Y)相互独立。

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栗子1：nowcoder161E 排序

一道耗了大半管蓝做出来的题

做法：求逆序对期望，我们可以转化成求{x,y}组成的pair对答案的贡献。

• 如果(x,y)都在偶数位置，贡献为1/2
• 如果(x,y)都在奇数位置，贡献为0
• 如果(x)在偶数位置(y)在奇数位置
• (x)的位置的期望，随(x)增加，线性递增[??]。(y)的位置的期望当然是常数啦！
• 然后，我们对(x,y)的大小关系分类讨论一下就好了。

[??]：(E(x) = sum_{i=1}^{x-1} P(x在奇数位置|i在奇数位置))

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栗子2：import From 西安邀请赛2018热身赛

题意：吃鸡，告诉(n)个人,每个人的坐标，然后(m)种轰炸，每种轰炸对(x_i,y_i)为圆心，(r_i)为半径的圆，进行施展。每次从(m)种轰炸中随机挑选一种。求1号选手的排名期望。

做法: 因为期望的可加性。所以我们算出每个选手比1号选手先GG的概率即可。

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