Luogu P2323「皇后游戏」

Posted 2021-01-03 soul-m

算是数论吧，证明出来一个公式之后就可以据此把所有大臣排序，然后求最后一位大臣的奖励即为答案。

证明：

考虑相邻的大臣是否交换。设某个编号为 $ i $ 的大臣，后面一位编号为 $ j $ 。设i前面所有大臣的 $ a $ 值之和为 $ x $ ，设 $ c[i-1] $ 为 $ y $ 。如果不交换 $ i $ 和 $ j $ ，则 $ c $ 值较大的大臣的 $ c $ 值为

$ max(max(x+a_i,y)+b_i,x+a_i+a_j)+b_j $

化简：

$ max(x+a_i+b_i+b_j,,y+b_i+b_j,x+a_i+a_j+b_j) $

同理，如果交换，则较大的C值为

$ max(max(x+a_j,y)+b_j,x+a_i+a_j)+b_i $

化简：

$ max(x+a_j+b_i+b_j,y+b_i+b_j,x+a_i+a_j+b_i) $

即：

交换后两大臣的最大奖励和=$ max(x+a_j+b_i+b_j,y+b_i+b_j,x+a_i+a_j+b_i) $①

不交换两大臣的最大奖励和=$ max(x+a_i+b_i+b_j,y+b_i+b_j,x+a_i+a_j+b_j) $②

假设交换后的情况优于不交换，即①<=②，那么就交换两大臣位置。此时有：

$ max(x+a_j+b_i+b_j,y+b_i+b_j,x+a_i+a_j+b_i) $ <= $ max(x+a_i+b_i+b_j,y+b_i+b_j,x+a_i+a_j+b_j) $ ③

化简（删去公共项$ y+b_i+b_j $）：

$ max(x+a_j+b_i+b_j,x+a_i+a_j+b_i) $ <= $ max(x+a_i+b_i+b_j,x+a_i+a_j+b_j) $ ④

继续化简（消去$ x $）

$ max(a_j+b_i+b_j,a_i+a_j+b_i) $ <= $ max(a_i+b_i+b_j,a_i+a_j+b_j) $ ⑤

继续化简（左右两边提出各自系数）

$ max(a_i,b_j)+a_j+b_i $ <= $ max(a_j,b_i)+a_i+b_j $ ⑥

移项：

$ max(a_i,b_j)-a_i-b_j $ <= $ max(a_j,b_i)-a_j-b_i $ ⑥

得出

$ -min(a_i,b_j) $ <= $ -min(a_j,b_i) $ ⑦

$ min(a_i,b_j) $ >= $ min(a_j,b_i) $ ⑧

也就是说，当两个相邻的大臣，其$ a_i,b_i,a_j,b_j $满足⑧时，此时交换后的情况优于不交换。于是此时交换 $ i,j $。

代码实现的话，就是写一个sort用的cmp函数：

bool cmp(const nd &x,const nd &y){
    int ai=x.a,bi=x.b,aj=y.a,bj=y.b;
    return min(bi,aj)>min(ai,bj);
}

注意这里要写成>而不是>=，否则会数组越界导致RE。

用这个cmp，sort一波之后从1到n算出 $ C[1-n] $ ，最后因为C单调递增，所以$ C[n] $ 最大，既为答案。