数学理论基础

Posted 2021-01-03 q735613050

1 理论基础

下面该栏目列出一些可能会用到的已经证实的理论! 大多数的理论均来自¹.

对于 (forall x,y,z in X), 若存在映射

[ egin{aligned} d:; &X imes X ightarrow mathbb{R}^1&(x,y) mapsto d(x,y) end{aligned} ]

定义如下几个性质:

1. 非负性: (d(x,y)geq 0, d(x,y)=0Leftrightarrow x=y)
2. 对称性: (d(x,y) = d(y,x))
3. 三角不等式: (d(x,y)leq d(x,z) + d(z,y))

1.1 距离空间

定义 1.1 设 (X) 是非空集合, 对于 (forall x,y,z in X), 若存在映射

[ egin{aligned} d:; &X imes X ightarrow mathbb{R}^1&(x,y) mapsto d(x,y) end{aligned} ]

同时满足非负性, 对称性, 三角不等式, 则称 (d(x,y)) 是元素 (x) 与 (y) 之间的距离. 在集 (X) 中定义了距离 (d) 之后, 就称 (X) 为距离空间, 记作 ((X,d)). ((X,d)) 中的元素又称为点.

设 (A) 是距离空间 ((X,d)) 的子集, 则 (A) 按 (X) 中定义的距离 (d) 也形成一个距离空间 ((A,d)), 称为 ((X,d)) 的子空间, 有时我们也简称 (A) 是 (X) 的子空间.

1.1.1 由距离导出的拓扑概念

设 (X = (X,d)) 为距离空间, (x_0 in X, r > 0,) 则

[ B(x_0,r) = {xin X: d(x,x_0) < r} ]

称为以 (x_0) 为中心, (r) 为半径的 (r) 球形邻域; 而

[ overline{B}{(x_0,r)} = {xin X: d(x,x_0) leq r} ]

称为以 (x_0) 为中心, (r) 为半径的 (r) 闭球.

(S(x_0,r)={xin X: d(x,x_0) = r}) 称为球面. 设 (A,B subset X,) 则 (d(x,B) = inf; {d(x,y):y in B}) 称为 (x) 与集 (B) 之间的距离; (d(A,B) = inf; {d(x,y):x, in A,y in B}) 称为集 (A) 与 (B) 之间的距离.

(operatorname{diam} A = sup {d(x,y):x,yin A}) 称为集 (A) 的直径. 设 (Asubset X), 若存在球 (B(x_0,r) supset A,) 则称 (A) 为 (X) 中的有界集.

定义 1.2 设 (x_n, x_0 in X,) 若

[ lim_{n ightarrow infty} d(x_n,x_0) = 0 ]

即 (forall ε > 0, ? N,) 使得 (? n geq N,) 有 (d(x_n,x_0) < ε), 则称点列 ({x_n}) 收敛于 (x_0), 记作 (displaystylelim_{n ightarrow infty} x_n = x_0) 或 (x_n ightarrow x_0,(n ightarrow infty)).

1.1.2 完备性

定义 1.3 设 ({x_k}) 是距离空间 ((X,d)) 中的点列, 若 (?ε>0,?N,) 使得 (?m,n in N,) 有 (d(x_m,x_n) < ε,) 则称 ({x_k}) 是 ((X,d)) 中的柯西点列或基本点列.

定义 1.4 设 ((X,d)) 为距离空间, (E ? X,) 若 (E) 中每个柯西点列都收敛于 (E) 中的点, 则称 (E) 为完备集, 特别, 当 (E=X) 时, 称 ((X,d)) 为完备距离空间.

由实数的完备性, 我们可得 (mathbb{R}^n) 是完备的.

1.2 赋范线性空间

在高等代数课程中, 已经熟悉在集合 (X) 中引入线性运算 ((X) 中元素的加法和数乘运算) 就形成了线性空间. 设 (x_1. x_2, cdots,x_n) 是数域 (K) 上线性空间的一组元素, 若存在不全为 (0) 的数 (alpha _k in K), 使得 (displaystylesum_{k=1}^n alpha _kx_k = 0), 则称 (x_1. x_2, cdots,x_n) 是线性相关的, 否则, 称 (x_1. x_2, cdots,x_n) 线性无关, 即若 (displaystylesum_{k=1}^n alpha _kx_k = 0), 则 (alpha _k=0). 设 (X) 的子集 (A) 中任何有限个向量都线性无关, 则称 (A) 为线性无关集; 若 (A) 对 (X) 中的线性运算是封闭的, 则称 (A) 为 (X) 的线性子空间, 简称子空间.

(operatorname{span}A = {y = displaystylesum_{k=1}^n alpha _kx_k:x_kin A,alpha _kin K, ?n}) 称为由 (A) 张成的子空间, 或称 (A) 的线性包. 设 (A) 是 (X) 的线性无关子集, 若 (operatorname{span}A=X), 即对 (?xin X,?x_k in A, alpha _kin K,) 使得 (x = displaystylesum_{k=1}^n alpha _kx_k), 则称 (A) 为 (X) 的一组线性基 (或 Hamel 基), 称 (A) 的基数为 (Z) 的维数, 记作 (operatorname{dim} A).

设 (X, Y) 为数域 (K) 上的线性空间. 若 (T: X ightarrow Y) 是满单射且为线性映射, 即: 对 (forall x,y in X, alpha , eta in K), 有

[ T(alpha x + eta y) = alpha Tx + eta Ty ]

则称 (X) 与 (Y) 线性同构或代数同构. (T) 称为同构映射, 数域 (K) 上两个有限维线性空间 (X) 与 (Y) 同构的充要条件是 (X) 与 (Y) 的维数相同.

为了在线性空间中引入拓扑概念, 下面我们引入范数的定义, 通过范数来定义距离.

定义 1.5 设 (X) 是数域 (K) (实数域 (mathbb{R}) 或复数域 (mathbb{C})) 上的线性空间, 若存在映射

[ egin{aligned} T:;&X ightarrow mathbb{R}^1&xmapsto ||x|| end{aligned} ]

满足:

• (||x|| geq 0,) 且 (||x|| = 0 Leftrightarrow x=0)
• (||alpha x|| = |alpha |||x||, alpha in K) (绝对齐性)
• (||x+y|| leq ||x|| + ||y||, x,yin X) (三角不等式)

则称 (||x||) 是元素 (x) 的范数, 定义了范数 (||?||) 的线性空间 (X) 称为赋范线性空间, 记作 ((X,||cdot||)).

若对 (? x,yin X,) 令

[ d(x,y) = ||x-y|| ]

则易证 (d) 是 (X) 上的距离空间, 称 (d) 为由范数 (||?||) 导出的距离.

定义 1.6 设 ((X,||cdot||)) 是赋范线性空间, ({x_n}) 是 (X) 中的点列, (x in X), 若

[ d(x_n,x) = ||x_n-x|| ightarrow 0(n ightarrow infty) ]

则称 ({x_n}) 依范数收敛于 (x) (或 ({x_n}4) 强收敛于 (x)), 记作 (displaystylelim_{n ightarrow infty} x_n = x) 或 (x_n ightarrow x,(n ightarrow infty)).

完备的赋范线性空间称为 Banach 空间, 简称为 (B) 空间. 用范数刻画有界集: 若 (A? X, displaystylesup_{xin A} ||x||<infty), 则称 (X) 为有界集.

定义 1.7 设 ({e_n}) 是赋范线性空间 ((X,||cdot||)) 中的可数集, 若对 (? x in X,) 在数域 (K) 中存在唯一确定的数列 ({c_k}), 使得

[ ||x - displaystylesum_{k=1}^n c_ke_k|| ightarrow 0;(n ightarrow infty) ]

则称 ({e_n}) 为 (X) 的 Schauder 基, 简称为 (S) 基, 记作

[ x = displaystylesum_{k=1}^{infty} c_ke_k ]

上式称为 (x) 关于基 ({e_n}) 的展开式.

定义 1.8 设 (X) 是线性空间 (X) 中的子集, (x,yin X), 集合 ({λx + (1-λ)y:0leq λ leq 1}) 称为联结 (x,y) 两点的线段, 记作 ([x,y]). 若对 (forall x,yin X, [x,y] subset A,) 则称 (A) 为 (X) 中的凸集, 而集 ({x=displaystylesum_{k=1}^n λ_kx_k: λ_k geq 0, displaystylesum_{k=1}^n λ_k = 1}) 称为 (x_1,x_2,cdots,x_n) 的凸组合. 我们很容易知道 (X) 的线性子空间是凸集.

赋范线性空间 ((X,||cdot||)) 中的单位球 (B(0,1)={xin X: ||x||leq 1}) 是 (X) 中的凸集.

1.3 内积空间

定义 1.9 设 (X) 是数域 (K) (实数域 (mathbb{R}) 或复数域 (mathbb{C})) 上的线性空间, 若存在映射

[ egin{aligned} T:;&X imes X ightarrow K&(x,y) mapsto (x,y) end{aligned} ]

满足:

• 正定性: ((x,x) geq 0, (x,x)=0 ? x=0)
• 对第一变元线性: ((alpha x+βy,z) = alpha (x,z) + β(y,z); x,y,zin X, alpha ,β in K)
• 共轭对称性: ((x,y) = overline{(y,x)})

则称 ((x,y)) 为 (x,y) 的内积, 定义了内积的线性空间 (X) 称为内积空间.

定理 1 设 (X) 为内积空间, (A,B4) 为 (X) 中的非空子集, 则

• 若 (xot y), 则 (||x+y||^2 = ||x||^2 = ||y||^2) (勾股定理)
• (A^{ot}) 是 (X) 的闭线性子空间
• (A?B?A^{ot} ? B^{ot})
• (A ∩ A^{ot} = {0}) 或 (?)
• ((overline{A})^{ot} = A^{ot}; (overline{operatorname{span}A})^{ot} = A^{ot})
• (X^{ot} = {0}, {0}^{ot} = X)

1.3.1 最佳逼近问题

设 (X=(X,d)) 为距离空间, (A) 为 (X) 的非空子集, 则 (x) 到 (A) 的距离为

[ d(x, A) = inf {d(x,y):yin A} ]

对于 (x in X), 若存在 (y_0in A), 使得

[ d(x,y_0) = d(x,A) ]

则称 (y_0) 是 (x) 在集 (A) 中的最佳逼近元.

定理 2 (变分引理) 设 (X) 为内积空间, (A) 是 (X) 中非空完备凸集, 则对 (? x in X), 存在唯一的最佳逼近元 (y_0in A), 成立

[ ||x-y_0|| = inf { ||x-y||: yin A}. ]

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1. 匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社.2002.8?