ZT等概率随机函数问题

Posted 2021-01-03 bloomingflower

1. 基础问题 和 解决办法。

已知： 有一个随机函数 rand_0_and_1_with_p(), 这个随机数生成器，它能够以概率 p 产生0，以概率 (1 - p) 产生1。

要求：使用这个随机函数，设计一个新的随机函数要求以等概率生成0和1。

 

解决办法：组合问题类型：可以两次调用 该 随机函数。 运行函数 rand_0_and_1_with_p() 一次，可以得到 P(0) = p, P(1) = 1 - p。那么运行该函数两次，会生成两个数字，P (0 and 1) = p(1 - p)，P(1 and 0) = (1 - p)p。这样就出现了等概率。所以实现如下：

 

 1 int rand_0_and_1_with_equal_prob() {
 2 int tmp1 = rand_0_and_1_with_p();
 3 int tmp2 = rand_0_and_1_with_p();
 4 if (tmp1 == 0 && tmp2 == 1) {
 5 return 0;
 6 } else if (tmp1 == 1 && tmp2 == 0) {
 7 return 1;
 8 } else {
 9 return rand_0_and_1_with_equal_prob();
10 }
11 
12 }

 

 

2. 问题 升级版！
已知： 有一个随机函数 rand_0_and_1_with_p(), 这个随机数生成器，它能够以概率 p 产生0，以概率 (1

求解： 使用这个随机函数 rand_0_and_1_with_p()，设计一个新的随机函数，要求以等概率产生 1 到 n 之间的随机数。

分析： 我们现在已经有了 （0， 1）的等概率随机数生成器。给定一个n，我们不妨将 (0, 1)等概率随机数生成器生成的0， 1 看作是二进制。 那么我们多云行几次，就可以生成一个二进制数字，如果这个二进制数字有 Log2(n) 个比特位。就可以了。

代码如下：

 

int rand_0_to_n_minus_1_with_equal_prob(int n) {
int k = 0;
while(n) {
k++;
n = n >> 1;
}
do {
int res = 0;
for(int i = 0; i < k; i++){
res |= rand_0_and_1_with_equal_prob() << i;
}
} while(res >= n)

return res;
}

 

 

这里要注意，可能生成的数字会超过n，此时这里要舍弃这次随机数生成，重新再来一次。
3. 问题升级版 2！
问题： 给定函数 rand5() ，它能生成 1~5 之间的随机数字。
求解： 要求据此实现 rand7()，能产生1～7 之间的随机数字。
分析：
解法1：我们可以参照问题2解法，首先由 rand5() 生成 （0，1）等概率随机数生成器。然后由这个 (0, 1)等概率生成器生成 1~7 之间的等概率生成器。也就是 rand5()。

解法2：这个题目个人感觉非常棒，可以从题2中获得一定的灵感，题2中是将n表示成2进制，那是因为已知的随机函数是产生0和1的，对于该题，一直的随机函数是随机产生1~5的，我们可以很容易的将该函数转化成随机产生0~4，然后再将7表示成5进制的数，则1=015, 2=025, 3=035, 4=045, 5=105, 6=115, 7=125。不过这里我们同样是生成所有两位的五进制数，那么最高是445，即24，然后去掉21,22,23,24剩下的21个数0~20模7正好可以等概率生成0~6，然后加1即可。代码如下：

代码如下：

 

1 int rand7() {
2 do {    
3 int x = rand5() - 1;
4 int y = rand5() - 1;
5 int res = x * 5 + y;
6 } while(res > 20)
7 return (res % 7 ) + 1
8 }

 

 

4. 问题升级版 v3！

已知： rand_n() 可以产生 0 ~ n-1 之间的随机数

求解： 实现 rand_m() 产生 0~m-1 之间的随机数。

 

实现：如果 m <= n，那么直接生成即可。 如果m > n，将m用 <n进制> 数字表示，然后进行求解。

（起始就是问题3的思路扩展）

代码如下：

 

int rand_m() {
int res = 0;
if(m <= n) {
do {
res = rand_n();
} while(res >= m)
return res;
}
int count = 1;
int tmp = n - 1;
while(tmp < m) {
tmp = tmp * n + n - 1;
count ++;
}
int times = (tmp / m) * m;
do {
res = rand_n();
for(int i = 0; i < count ;i++)
res = res * n + rand_n();
} while(res >= times)
return res % m;
}

 

 

5. 问题升级版 V4！
问题: 如何得到可以产生如下概率的随机数？ 0出现1次，1出现2次，2出现3次，n-1出现n次。

分析： 我们注意到有如下规律：n - 1 = (n - 1) + 0 = (n - 2) + 1 = (n - 3) + 2 = ... = 2 + (n - 3) = 1 + (n - 2) = 0 + (n - 1)
可以发现，满足a + b = n - i的(a, b)数对的个数为n - i + 1个。所以我们得到如下代码：

 

int Rand(int n) {
while(1) {
int tmp1 = rand() % n;
int tmp2 = rand() % n;
if(tmp1 + tmp2 < n) {
return tmp1 + tmp2;
}
}
}

 

 

二. 随机数 范围扩展。

已知有个rand7()的函数，返回1到7随机自然数，让利用这个rand7()构造rand10() 随机1~10。
分析：要保证rand10()在整数1-10的均匀分布，可以构造一个1-10*n的均匀分布的随机整数区间（n为任何正整数）。假设x是这个1-10*n区间上的一个随机整数，那么x%10+1就是均匀分布在1-10区间上的整数。由于(rand7()-1)*7+rand7()可以构造出均匀分布在1-49的随机数（原因见下面的说明），可以将41～49这样的随机数剔除掉，得到的数1-40仍然是均匀分布在1-40的，这是因为每个数都可以看成一个独立事件。
下面说明为什么(rand7()-1)*7+rand7()可以构造出均匀分布在1-49的随机数:
首先rand7()-1得到一个离散整数集合{0，1，2，3，4，5，6}，其中每个整数的出现概率都是1/7。那么(rand7()-1)*7得到一个离散整数集合A={0，7，14，21，28，35，42}，其中每个整数的出现概率也都是1/7。而rand7()得到的集合B={1，2，3，4，5，6，7}中每个整数出现的概率也是1/7。显然集合A和B中任何两个元素组合可以与1-49之间的一个整数一一对应，也就是说1-49之间的任何一个数，可以唯一确定A和B中两个元素的一种组合方式，反过来也成立。由于A和B中元素可以看成是独立事件，根据独立事件的概率公式P(AB)=P(A)P(B)，得到每个组合的概率是1/7*1/7=1/49。因此(rand7()-1)*7+rand7()生成的整数均匀分布在1-49之间，每个数的概率都是1/49。
程序：

 

1 int rand_10() 
2 { 
3 int x = 0; 
4 do 
5 { 
6 x = 7 * (rand7() - 1) + rand7(); 
7 }while(x > 40); 
8 return x % 10 + 1; 
9 }

 

 

注：由朋友问为什么用while(x>40)而不用while(x>10）呢？原因是如果用while(x>10）则有40/49的概率需要循环while，很有可能死循环了。
问题描述
已知random3()这个随机数产生器生成[1, 3]范围的随机数，请用random3()构造random5()函数，生成[1, 5]的随机数？
问题分析
如何从[1-3]范围的数构造更大范围的数呢？同时满足这个更大范围的数出现概率是相同的，可以想到的运算包括两种：加法和乘法
考虑下面的表达式：
3 * (random3() – 1) + random3();
可以计算得到上述表达式的范围是[1, 9] 而且数的出现概率是相同的，即1/9
下面考虑如何从[1, 9]范围的数生成[1, 5]的数呢？
可以想到的方法就是 rejection sampling 方法，即生成[1, 9]的随机数，如果数的范围不在[1, 5]内，则重新取样
解决方法

 

1 int random5() 
2 { 
3 int val = 0; 
4 do 
5 { 
6 val = 3 * (random3() - 1) + random3(); 
7 }while(val > 5); 
8 return val; 
9 }

 

归纳总结
将这个问题进一步抽象，已知random_m()随机数生成器的范围是[1, m] 求random_n()生成[1, n]范围的函数，m < n && n <= m *m
一般解法：

 

int random_n() 
{ 
int val = 0; 
int t; //t为n的最大倍数，且满足t<m*m 
do 
{ 
val = m * (random_m() - 1) + random_m(); 
}while(val > t); 
return val; 
}