皮卡丘的梦想2（线段树+二进制状态压缩）

Posted 2021-01-02 wkfvawl

Description

一天，一只住在 501 实验室的皮卡丘决定发奋学习，成为像 LeiQ 一样的巨巨，于是他向镇上的贤者金桔请教如何才能进化成一只雷丘。

金桔告诉他需要进化石才能进化，并给了他一个地图，地图上有 n 个小镇，他需要从这些小镇中收集进化石。

接下来他会进行 q 次操作，可能是打听进化石的信息，也可能是向你询问第 l 个小镇到第 r 个小镇之间的进化石种类。

如果是打听信息，则皮卡丘会得到一个小镇的进化石变化信息，可能是引入了新的进化石，也可能是失去了全部的某种进化石。

如果是向你询问，你需要回答他第 l 个小镇到第 r 个小镇之间的进化石种类。

Input

首先输入一个整数 T (1 <= T <= 10)，代表有 T 组数据。

每组数据的第一行输入一个整数 n (1 <= n <= 100000) 和一个整数 q (1 <= q <= 100000)，分别代表有 n 个小镇，表皮卡丘有 q 次操作。

接下来输入 q 行，对于每次操作，先输入操作类型，然后根据操作类型读入：

• 1: 紧接着输入 2 个整数 a (1 <= a <= n), b (1 <= b <= 60)，表示第 a 个小镇引入了第 b 种进化石
• 2: 紧接着输入 2 个整数 a (1 <= a <= n), b (1 <= b <= 60)，表示第 a 个小镇失去了全部第 b 种进化石
• 3: 紧接着输入 2 个整数 l, r (1 <= l <= r <= n)，表示他想询问从第 l 个到第 r 个小镇上可收集的进化石有哪几种

Output

对于每组输入，首先输出一行 "Case T:"，表示当前是第几组数据。

对于每组数据中的每次 3 操作，在一行中按编号升序输出所有可收集的进化石。如果没有进化石可收集，则输出一个 MeiK 的百分号 "%"（不包括引号）。

Sample Input

1
10 10
3 1 10
1 1 50
3 1 5
1 2 20
3 1 1
3 1 2
2 1 50
2 2 20
3 1 2
3 1 10

Sample Output

Case 1:
%
50
50
20 50
%
%

 

 解题思路：刚好暑假学完了线段树，我一开始就把这道题当做线段树的裸题，用线段树来维护数据，不就是单点更新，区段查询嘛。但是很不幸时间超限，后来我考虑了原来每次查询进化石的时候还是要全部遍历一遍，所以是要超时的。这时我们就需要更高效的方法来存储和查询所有进化石的状态，这种方法就是利用二进制进行状态压缩。

我们用二进制数的每一位来表示每种进化石的有无，也即该小镇进化石的存在状态。例如，对于有 1、4 号进化石的小镇，我们可以用二进制数 1001 来表示。它的含义是：从右向左依次表示第 1 个到第 n 个进化石的有无，1 表示有，0 表示无。而且很容易想到，由于每一位只有 0 或 1 两种可能，且每一位都对应固定的编号，所以对于任意一个二进制数，都能保证唯一对应一种存在状态。

解决了如何表示存在状态的问题，下一步就是如何存储了。例如，当前我们的进化石存在状态为：1、4，对应二进制 1001，如果我们加入一个 3 号进化石，则应变为 1101，也就是让倒数第三位变成 1。这里需要用到位运算：对于 1001，我们让它与 0100（只含有 3 号石的状态）进行或运算，即两数对应的位有一个或两个为 1 时结果为1，否则为 0，运算结果为 1101。这样我们使用或运算就可以实现两个状态的合并。至于如何表示单个进化石的状态，很简单，使用左移运算就可以了，例如：表示 3 号石存在，只需将 1（0001）左移 3-1=2 位即得到 0100。

这样，我们只需要把二进制和线段树结合一下就可以愉快地告别 TLE 了。在存储时，每一个结点都表示它的左右子结点的合并状态，即对左右子结点进行或运算后的结果，而叶结点直接存储状态。在查询时，只需要遍历结果对应二进制的每一位来输出即可。

  1 #include<cstdio>
  2 #include<cstring>
  3 #include<algorithm>
  4 #define ll long long int
  5 const int MAXN=1e5+10;
  6 using namespace std;
  7 int n,q;
  8 ll sum[MAXN<<2];
  9 void push_up(int i)///向上回溯，状态合并
 10 {
 11     sum[i]=sum[i<<1]|sum[i<<1|1];
 12 }
 13 void build(int l,int r,int rt)///建树
 14 {
 15     if(l==r)
 16     {
 17         sum[rt]=0;
 18         return ;
 19     }
 20     int mid=(r+l)>>1;
 21     build(l,mid,rt<<1);
 22     build(mid+1,r,rt<<1|1);
 23     push_up(rt);
 24 }
 25 void add(int l,int r,int pos,int v,int rt)
 26 {
 27     if(l==r)
 28     {
 29         sum[rt]|=1ll<<(v-1);///1ll为长整型的1
 30         return ;
 31     }
 32     int m=(r+l)>>1;
 33     if(m>=pos)
 34     {
 35         add(l,m,pos,v,rt<<1);
 36     }
 37     else
 38     {
 39         add(m+1,r,pos,v,rt<<1|1);
 40     }
 41     push_up(rt);
 42 }
 43 void del(int l,int r,int pos,int val,int rt)
 44 {
 45     if(l==r)
 46     {
 47         sum[rt]&=~(1ll<<(val-1));
 48         return ;
 49     }
 50     int mid=(r+l)>>1;
 51     if(pos<=mid)
 52     {
 53         del(l,mid,pos,val,rt<<1);
 54     }
 55     else
 56     {
 57         del(mid+1,r,pos,val,rt<<1|1);
 58     }
 59     push_up(rt);
 60 }
 61 ll query(int l,int r,int L,int R,int rt)///区间查询
 62 {
 63     if(L<=l&&R>=r)
 64     {
 65         return sum[rt];
 66     }
 67     ll ans=0;
 68     int mid=(r+l)>>1;
 69     if(L<=mid)
 70     {
 71         ans|=query(l,mid,L,R,rt<<1);
 72     }
 73     if(R>mid)
 74     {
 75         ans|=query(mid+1,r,L,R,rt<<1|1);
 76     }
 77     return ans;
 78 }
 79 
 80 int main()
 81 {
 82     int i,t;
 83     int op,x,y;
 84     scanf("%d",&t);
 85     for(i=1; i<=t; i++)
 86     {
 87         printf("Case %d:
",i);
 88         scanf("%d%d",&n,&q);
 89         build(1,n,1);
 90         while(q--)
 91         {
 92             scanf("%d",&op);
 93             scanf("%d%d",&x,&y);
 94             if(op==1)
 95             {
 96                 add(1,n,x,y,1);
 97             }
 98             if(op==2)
 99             {
100                 del(1,n,x,y,1);
101             }
102             if(op==3)
103             {
104                 ll ans=query(1,n,x,y,1);
105                 ll cnt=0;
106                 int flag=1;
107                 int ot=1;
108                 while(ans)
109                 {
110                     if(ans&1)
111                     {
112                         if(flag)
113                         {
114                             flag=0;
115                         }
116                         else
117                         {
118                             printf(" ");
119                         }
120                         printf("%d",ot);
121                     }
122                     ot++;
123                     ans>>=1;
124                 }
125                 if(flag)
126                 {
127                     printf("%%
");
128                 }
129                 else
130                 {
131                     printf("
");
132                 }
133             }
134         }
135     }
136     return 0;
137 }