有意思的数学--数系的发展历史

Posted 2021-01-02 downey-blog

有意思的数学--数系的发展

在数学中，数系指的是数的不同集合，比如自然数N，整数，在数学的学习过程中，对公式和概念的记忆往往是痛苦的，但是如果我们能理解它们，弄清它们的来龙去脉，对记忆的帮助是相当大的。

自然数

顾名思义，自然数(N)便是在自然生活中所产生的数，最早是应用于计数，所以在最初的自然数中是不包含0的，因为0个东西表示没有，自然也就没有意义，所以即使到现在，0是否属于自然数的范畴，还一直存在争议。

罗马数字

罗马数字中是没有0的，罗马教皇还认为罗马数字表示任何数字不但完全够用而且十全十美，甚至像外界宣布：“罗马数字是上帝发明的，从今以后不许任何人再随意增加或者减少一个数字”，所以0在罗马数字中并不存在，一直延续至今。
罗马数字一共七个:I(1) V(5) L(50) C(100) D(500) M(1000),按照以下规则可以表示任意整数：

• 重复次数：一个符号重复几次，就表示这个数的几倍，"III"为3，"VVV"为15
• 右加左减：一个大数字符号右边附一个小数字符号，表示大+小，如果小数字符号附在左边，则表示大-小，例如"IV"为4，"VI"为6，"XL"为40
• 上加横线，或加下标：在罗马数字的上方加上一条横线或者加上下标的?，表示将这个数乘以1000，即是原数的1000倍
• 这里只讨论一些常用规则，更多细节请参考罗马数字
  当然，放到现在来看，这种计数法没有被广泛应用个，证明这种计数系统在现在的数学环境下有不足之处。

阿拉伯数字

其实阿拉伯数字是印度人发明的，而非阿拉伯人，只是由阿拉伯人传播。它合并了进位制和十进制系统，让数字的记录更加简单。

整数

上面提到自然数，既然有自然数的概念，便会有对于数字的运算，对于自然数而言：
加法是封闭的
大减小是封闭的
而小减大则出现未定义
所以人类就发展出整数(Z)的概念，允许小-大为负数

有理数

但是在整数的基础上
乘法是封闭的
对除法却又是不封闭的，当出现2/3时，目前的数系就没法表示，所以出现了有理数(Q),至此，Q包含了所有小数和整数

实数

毕达哥拉斯与希帕索斯的故事

在公元前五世纪，毕达哥拉斯学派提出"万物皆数"的概念，认为世界上只有整数和分数，即有理数，当时毕达哥拉斯的门生希帕索斯却发现了边长为一的对角线长度无法用整数或者分数表达，即"无线不循环小数"，令该学派感到恐慌，并引发了第一次数学危机，为了掩盖学派的漏洞所在，希帕索斯被毕达哥拉斯扔进大海淹死了
在第一次数学危机中，便有了无理数的出现，有理数+无理数的集合 便是实数

虚数

在数学的发展史中，数学家总是会有一些奇怪而大胆的构想，而正是这些奇怪大胆的构想才催生出很多伟大的数学成就。
既然在实数范围内 i^2>=0
那能不能定义i^2 =-1呢，答案是可以的。
很多人完全无法理解 i^2=-1这个概念，计算器计算-1的平方根也是直接报错，那么，虚数到底要怎么去理解呢？
既然纯代数的方法不好理解，我们将它放到坐标轴内，想象坐标轴上有一点1，如果我们以0为原点逆时针旋转180°，这个点就成了-1.
这相当于两次逆时针旋转90°，如果把一次逆时针旋转90°记为i,i^2=-1,虚数i其实并不能严格看成一个数，而是一个旋转量，i的出现大大方便了涉及到旋转的运算，在向量变换中有不可替代的作用。

（完）