51nod 1020 逆序排列 递推DP

Posted 2021-01-02 draymonder

1020 逆序排列 

基准时间限制：2 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

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在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

如2 4 3 1中，2 1，4 3，4 1，3 1是逆序，逆序数是4。

 

1-n的全排列中，逆序数最小为0（正序），最大为n*(n-1) / 2（倒序）

给出2个数n和k，求1-n的全排列中，逆序数为k的排列有多少种？

例如：n = 4 k = 3。

 

1 2 3 4的排列中逆序为3的共有6个，分别是：

1 4 3 2

2 3 4 1

2 4 1 3

3 1 4 2

3 2 1 4

4 1 2 3

 

由于逆序排列的数量非常大，因此只需计算并输出该数 Mod 10^9 + 7的结果就可以了。

 

Input

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 10000)
第2 - T + 1行：每行2个数n，k。中间用空格分隔。（2 <= n <= 1000, 0 <= k <= 20000)

Output

共T行，对应逆序排列的数量 Mod (10^9 + 7)

Input示例

1
4 3

Output示例

6

设f(n,k)表示n个数的排列中逆序数个数为k的排列数。

最大的数n可能会排在第n-i位，从而产生i个与n有关的逆序对，去掉n之后，剩下的n-1个数的排列有k-i个逆序对。所以，f(n,k)=求和(f(n-1，k-i))(0<=i<n)。

同理有f(n,k-1)=求和(f(n-1，k-1-i))(0<=i<n)。

两式相减，可得f(n,k)-f(n,k-1)=f(n-1,k)-f(n-1,k-n)。

递推公式为f(n,k)=f(n,k-1)+f(n-1,k)-f(n-1,k-n)。

然后动态规划可得。

 

#include<cstdio>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MAXK = 2e4+5;
const int MAXN = 1e3+5;
const int mod = 1e9+7;
#define min(a,b) (a<b)?a:b

int n,k,dp[MAXN][MAXK];

// dp[n,k] = dp[n,k-1] + dp[n-1,k] - dp[n-1,k-n];

int getMod(ll t) {
    if(t >= mod) return t-mod;
    if(t<0) return t+mod;
    return t;
}

void init() {
    int i,j;
    for(i=2;i<=1000;i++) {
        dp[i][0]=1;
        for(j=1;j<=i*(i-1)/2&&j<=20000;j++) {
            ll tmp=0;
            ll tmp1=dp[i][j-1];
            ll tmp2=dp[i-1][j];
            ll tmp3=(j>=i)?dp[i-1][j-i]:0;
            tmp = tmp1+tmp2-tmp3;
            dp[i][j] = getMod(tmp);
        }
    }
}
int main () {
    init();
    int T; scanf("%d",&T);
    while (T--){
        scanf("%d %d",&n,&k);
        printf("%d
",dp[n][k]);
    }
    return 0;
}