如何判断质数？

Posted 2021-01-02 ljnoit

质数，又称“素数”，质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。

现在，ljn教大家如何用程序判断质数。

 

1.一般，大家在程序中判断质数都是写一个函数，函数中循环从2到这个数的算数平方根枚举，看看这个数是否能整除枚举的数，如果能，则是质数，反之合数。

C Code:

int pd(int n) {
    int i;
    for(i=2; i<=floor(sqrt(n)); i++)
        if(n%i==0) return 0;
    return 1;
}

C++ Code:

bool pd(int n) {
    for(int i=2; i<=floor(sqrt(n)); i++)
        if(n%i==0) return 0;
    return 1;
}

Pascal Code:

Function pd(n:longint):boolean;
var i:longint;
begin
    for i:=2 to trunc(sqrt(n)) do
        if n mod i=0 then exit(false);
    exit(true);
end;

注：C/C++ Code中，调用了floor函数，Pascal Code中，调用了trunc函数，它们都是把浮点数的小数部分去掉（不是四舍五入）。

    C/C++和Pascal的sqrt函数是求一个数的算术平方根。

    C/C++的floor函数和sqrt函数均在头文件<math.h>中。

 

2.接下来介绍一种Monte-Carlo算法：

  如果n是一个正整数，如果a^(n-1))≡1(mod n)，我们说n是基于a的伪素数。如果一个数是伪素数，它几乎肯定是素数。另一方面，如果一个数不是伪素数，它一定不是素数。由于我们可以自由地选取基，所以如果在选取了s个基后发现n都是伪素数，就几乎可以肯定n是素数了。

  它最简单的实现方法是一个驯循环，时间复杂度为O(s)，s越大，准确率越高。

Pascal Code:

Function MR(n:longint):boolean;
var i,a:longint;
begin
    for i:=1 to s do
    begin
        a:=random(n-2)+2;
        if modular_exp(a,n-1,n)<>1 then  exit(false);
    end;
    exit(true);
end;

注：此处调用了modular_exp函数，即计算a^b mod c的值。

  这种思路也可以采用二进制扫描法快速地计算出a^b mod c的值。根据模算术的基本知识，(a*b)mod c=((a mod c)*b)mod c，那么可以把a^b mod c变成一系列较小数的乘积。把b写成二进制(a[t],a[t-1]…,a[1],a[0])。

  这样，有：a^b mod c=a^(a[t]*2^t+a[t-1]*2^(t-1)+…+a[1]*2^1+a[0]*2^0)mod c=((a^(a[0]*2^0)mod c)*(a^(a[1]*2^1)mod c)*…*(a^(a[t]*2^t)mod c))mod c。

  总时间复杂度为O(log3(b))。