LightOJ - 1245 Harmonic Number (II) (找规律)

Posted 2021-01-02 dynastysun

题目大意：给出一个n（1 <= n < 2^31）求出H(n)的结果，H(n)的定义为下：

分析：对于一个n，设 t = n / i：

　　满足 t >= 1的有多少个呢？　　有 n / 1 个。

　　满足 t >= 2的有多少个呢？　　有 n / 2 个。

　　……

　　满足 t >= k的有多少个呢？　　有 n / k 个。

以上结论不难发现，我们再进一步就能发现：

　　满足 t == 1 的有 n/1 - n/2 个

　　满足 t == 2 的有 n/2 - n/3 个

　　……

　　满足 t == k 的有 n/k - n/(k+1) 个

发现这个规律，我们就需要考虑这个 t 枚举到哪呢？t 从1 枚举 到 n 肯定是对的，但是时间上不允许，我们可以改进一下，我们在枚举 t >= i 的时候，我们可以顺便计算出满足 t >= n/i 的有多少个（举个例子，n == 10，t >= 2的有5个，那么t>=5的就有2个）。这样一来时间复杂度就变为O(√n)了，这样就足够了。详情见代码：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <iostream>
 4 #include <cmath>
 5 using namespace std;
 6 
 7 typedef long long LL;
 8 typedef unsigned long long ULL;
 9 
10 LL H(int n){
11     LL ans = 0;
12     int m = sqrt(n+0.5);
13     for(int i = 2; i <= m; ++i){
14         ans += (LL)(i-1)*(n/(i-1)-n/i);
15         ans += n/(i-1);
16     }
17     ans += m*(n/m - m);
18     ans += n/m;
19     return ans;
20 }
21 
22 int main(){
23     int T, ca = 1;
24     scanf("%d", &T);
25     while(T--){
26         int n;
27         scanf("%d", &n);
28         printf("Case %d: %lld
", ca++, H(n));
29     }
30     return 0;
31 }

View Code