有限域——理想和商环

Posted 2021-01-02 colin-cai

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　　作者：窗户

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　　我们上一节介绍了环(ring)、域(field)的概念，并给了一些环、域的实例。比如我们知道整数环、方阵环、有理数域、实数域等。我们知道，域是环的一个种。最后，我们讲了素域，并讲了有限素域的构造。

　　接着上一节所讲，我们继续。

　　

　　子环

 

　　环的一个非空子集，如果在加法和乘法上依然是个环，那么就称这个环是原来的环的子环。

　　

　　我们依旧举几个例子，比如：

　　对于有理数域（当然也是一个环），整数环就是它的一个子环；

　　对于整数环，所有偶数依然在加法、乘法下构成一个环（因为任何两个偶数通过加、减、乘得到的还是偶数，对于加、减、乘是封闭的，所以依然是一个环），这个偶数环是整数环的一个子环；

　　对于n阶实数矩阵环，其所有的非对角线上的值全为0的n阶矩阵在矩阵加法、矩阵乘法上也构成了原矩阵环的一个子环，很明显，对于a、b两个矩阵，如果非对角线上为0，那么无论加法、减法还是乘法，得到的结果非对角线上都为0。

 

 

　　理想

 

　　理想(ideal)是一种特殊的子环，在子环的基础上，理想还要满足如下条件：

　　如果B是A的一个理想，那么对于任何a∈A，b∈B，有ab∈B且ba∈B。

　　其中ab和ba是a,b顺序不同的乘法结果（乘法未必可以交换）。

 

　　理想要满足ab∈B和ba∈B。

　　另外引申两个概念：如果满足ab∈B，叫左理想；如果满足ba∈B，叫右理想。

　　

　　很明显，每个环至少有两个理想：一个理想是单个0元所组成的环，因为任何一个元与0元的乘都为0元；另一个是这个环本身。

　　既然这两个理想对于每个环都有，不具有什么研究意义，我们称之为平凡理想。

　　只有非平凡的理想对于我们才有研究意义。

　　

　　我们还是先以整数环举例，对于整数环，显然，所有偶数组成的子环是一个理想，因为任何整数和偶数的乘积还是偶数。

　　

　　我们再去思考实数上的n阶矩阵环有没有非平凡理想：

　　实际上，假如该矩阵环中有一个理想，这个理想中存在一个秩为m(0<m<n)的方阵M，按照线性代数知识，存在X和Y两个满秩方阵，使得

　　XMY =   I_m            0_mx(n-m)

                     0_(n-m)xm  0_(n-m)x(n-m)

       I₁  0     *    I_m 0    =   I₁  0 

       0   0          0  0         0   0

　　这里的I是单位方阵。

       有了这个方阵，则可以通过行变换、列变换变换到任何只有一个元素不为0的方阵，

　　再通过加法，可以得到所有的n阶方阵。

　　从而该理想其实包含该环中所有方阵。

　　于是实数域上的矩阵环是不存在非平凡理想的。不存在非平凡理想的环叫单环。

　　

　　其实实数域矩阵环是存在非平凡的左理想和右理想的：

　　比如第一行之外其他行全为0的方阵构成一个左理想，第一列之外其他行全为0的方阵构成一个右理想。

　　甚至，我们可以深入研究下去，从而可以搞清楚实数域矩阵环的所有的非平凡左理想和非平凡右理想，这里并不展开此问题。

　　

　　再来看看域的理想：

　　对于任何一个域，因为域除了0元外，其他元在乘法上构成一个群，所以域的理想如果包含了任何一个非0元，那么必然扩充到整个域。从而，域没有平凡理想，所以也是单环。

　　

　　生成元

 

　　抽象代数里，我们很多时候研究方法都是采用生成元的方法。

　　在这里，我们研究环的理想的方法也是采用生成元，上面的分析中其实已经蕴含了这样的思想。

　　我们说一个理想是用某几个元生成的（也就是说这几个元是该理想的生成元），意思是指包含了这几个元的最小理想。

　　

　　我们之前提到所有偶数构成的环是整数环的理想，其实也可以看作是以2或-2为生成元的生成理想。

　　同理、以3、4、5、6.....各自为生成元，都可以产生整数环的一个非平凡理想。其实，利用数论里的知识也可以证明，整数环的任何非平凡理想都可以用一个元生成。

 

　　商环

 

　　有了环的理想，我们可以构造一个神奇的东西——商环。

　　

　　我们先定义一下分划：

　　A的一个分划是指A的一个非空子集的集合，并且满足A上所有元素有且只在其中一个非空子集上。

　　比如{1,2,3,4}分划有：

　　{{1,2},{3,4}}，

　　{{1},{2},{3},{4}}，

　　{{1},{2,3,4}}...

　　也就是把一个集合“分成任意块”，分划内的任意一个元素（原集的一个非空子集),我们称之为类。

 

　　我们这样定义环R对于理想I的商环Q：

　　商环Q是R的一个分划；

　　R里任何两个元x和y，在Q的同一个类里的充要条件是x-y∈I；

　　商环上定义的加法为：商环里的两个类A和B，A+B的结果是A上的一个元素a和B上的一个元素b做加法得的a+b所在的类；

　　商环上定义的乘法为：商环里的两个类A和B，A+B的结果是A上的一个元素a和B上的一个元素b做乘法所得的ab所在的类。

 

　　我们来证明以上加法、乘法定义是合理的，换句话说，加法、乘法的唯一性，用数学语言来说如下：

　　对于任意Q内的A和B，对于任意a₁,a₂∈A, b₁,b₂∈B,存在一个Q内的C和D，使得

　　a₁+b₁∈C,

　　a₂+b₂∈C,

　　a₁b₁∈C,

　　a₂b₂∈C.

　　稍微转换一下，就是

　　a₁-a₂∈I / b₁-b₂∈I -> (a₁+b₁)-(a₂+b₂)∈I / a₁b₁ - a₂b₂ ∈I

　　

　　证明起来不难，

　　(a₁+b₁)-(a₂+b₂) = (a₁-a₂)+(b₁-b₂)

　　a₁-a₂和b₁-b₂都在I里，两者的和当然也在I里。

　　我们假设a₁-a₂=i1, b₁-b₂=i₂

　　当然，i₁和i₂都是I里的元，

　　a₁b₁ - a₂b₂ = (a₂+i₁)(b₂+i₂) - a₂b₂

                           = a₂b₂ + i₁b₂ + a₂i₂ + i₁i₂ - a₂b₂

                           = i₁b₂ + a₂i₂ + i₁i₂

　　因为I是理想，所以i₁b₂、a₂i₂、i₁i₂都在I里，所以三者的和叶在I里。

　　得证。

　　唯一性得证后，加法和乘法的合理性得证。加法、乘法其他性质继承环R，从而商环的确是一个环。

　　商环的0元是理想！

 

　　我们来看看整数环的商环，我们知道所有的偶数构成的子环是其理想。

　　那么商环为{{偶数},{奇数}}

　　四则运算如下：

　　{偶数} + {偶数} = {偶数} {偶数} - {偶数} = {偶数}   {偶数} * {偶数} = {偶数}　　

　　{偶数} + {奇数} = {奇数} {偶数} - {奇数} = {奇数}   {偶数} * {奇数} = {偶数}  {偶数} / {奇数} = {偶数}

　　{奇数} + {偶数} = {奇数} {奇数} - {偶数} = {奇数}   {奇数} * {偶数} = {偶数}

　　{奇数} + {奇数} = {偶数} {奇数} - {奇数} = {偶数}   {奇数} * {奇数} = {奇数}  {奇数} / {奇数} = {奇数}

　　显然，这个商环其实是一个2元域。

 

　　实际上，对于任何质数p,{x|x是p的整数倍}都是整数环的一个理想，所得商环都是一个p阶素域。

 

　　我们的主题是有限域。那么，我们会想，用整数环的商环可以构造任意阶有限域吗？

　　实际上不行，比如对于{x|x是4的整数倍}这个理想，

　　商环如下：

　　{{x|x=4*a, a是整数}, {x|x=4*a+1, a是整数}, {x|x=4*a+2, a是整数}, {x|x=4*a+3, a是整数}}

　　其中，{x|x=4*a, a是整数}是0元。

　　 {x|x=4*a+2, a是整数} * {x|x=4*a+2, a是整数} = {x|x=4*a, a是整数}

　　所有这个商环存在零因子，当然不是域。

　　

　　看来，我们需要别的方法来构造有限域，这个在之后的章节里讲述。