题解SDOI2017树点涂色

Posted 2021-01-02 twilight-sx

　　LCT强强！以前总是觉得LCT非常的难懂（当然现在也是的），但实际上它真的是很厉害的一种东西。它是一种动态的链剖分结构，其实就是对于剖分出来的重链使用LCT去进行维护。cut 与 link 两个操作让我们可以构造出希望存在的链（动态更新），而 split 操作则可以提取出任意一条从 (u) 到 (v) 的链使得这条链成为重链，也就是处于一棵 splay 当中，并用根节点来返回信息。可以说，大部分与链有关的问题都可以考虑使用LCT来求解。

　　那么这道题乍一看1操作十分的棘手，但如果和LCT联想的话会发现实际上这就是一个 access 的操作，让一个节点到根的路径成为重链并断开原有的重儿子。这样一个条路径上的颜色个数，就是经过的虚边的条数。对于操作2，实际上是一个 LCT 的模板应用。我们维护颜色段的信息，用 (LC[u]) 和 (RC[u]) 分别代表以(u) 为根节点在 splay 上的子树的最右和最左两个节点的颜色。这样就可以维护了。修改颜色使用一个标记即可。

　　而3操作我们可以发现：在 access 的时候，我们每修改一条虚边为实边，就会断开一条原本为实边的边为虚边。这样对于它们子树的贡献分别是 (-1, +1)。我们在线段树上维护一下加减值即可。不过要注意由于3操作中的 access 已经用于维护树的形态了，我们就不能再随意的去变动它。所以为了实现2和3操作，我们必须使用两棵LCT。以及在翻转子树的时候，(LC[u]) 和 (RC[u]) 都必须要翻转！

　　这里我也有一个不是很理解的地方。标记一般来说有两种，一种打了标记表示自身及子树还未被修改，另一种则表示自身已经被修改，子树还未被修改。在以往我写的 LCT 中，翻转标记用第一种来维护完全没有问题。可以加入了覆盖的标记之后，只有第2种才是正确的。我也不是很懂为什么……如果有知道的，还请评论 私信我一下好吗QAQ

　　加之以前我一直以为LCT只能维护链信息，但老师说也是可以维护子树信息的，只要在添加虚边的时候更新一下即可，但这个必须要子树贡献满足可加性才行。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 1000000
int n, m, timer, size[maxn];
int id[maxn], dfn[maxn], dep[maxn];

int read()
{
    int x = 0, k = 1;
    char c;
    c = getchar();
    while(c < ‘0‘ || c > ‘9‘) { if(c == ‘-‘) k = -1; c = getchar(); }
    while(c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘) x = x * 10 + c - ‘0‘, c = getchar();
    return x * k;
}

struct edge
{
    int cnp, to[maxn], last[maxn], head[maxn];
    edge() { cnp = 1; }
    void add(int u, int v)
    {
        to[cnp] = v, last[cnp] = head[u], head[u] = cnp ++;
        to[cnp] = u, last[cnp] = head[v], head[v] = cnp ++;
    }
}E1;

struct Segament_Tree
{
    int mark[maxn], mx[maxn];

    void Build(int p, int l, int r)
    {
        if(l == r) { mx[p] = dep[id[l]]; return; }
        int mid = (l + r) >> 1;
        Build(p << 1, l, mid), Build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
        mx[p] = max(mx[p << 1], mx[p << 1 | 1]);
    }

    void push_down(int u)
    {
        if(!mark[u]) return;
        mark[u << 1] += mark[u];  mark[u << 1 | 1] += mark[u];
        mx[u << 1] += mark[u], mx[u << 1 | 1] += mark[u];
        mark[u] = 0;
    }

    void update(int p, int l, int r, int L, int R, int x)
    {
        if(L <= l && R >= r) 
        {
            mark[p] += x; mx[p] += x;
            return;
        }
        if(L > r || R < l) return;
        int mid = (l + r) >> 1;
        push_down(p);
        update(p << 1, l, mid, L, R, x); update(p << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, x);
        mx[p] = max(mx[p << 1], mx[p << 1 | 1]);
    }

    int query(int p, int l, int r, int L, int R)
    {
        if(L <= l && R >= r) return mx[p];
        if(L > r || R < l) return 0;
        push_down(p); int mid = (l + r) >> 1;
        return max(query(p << 1, l, mid, L, R), query(p << 1 | 1, mid + 1, r, L, R));
    }
}ST;

struct Link_Cut_Tree
{
    int fa[maxn], rev[maxn], ch[maxn][2];
    int sum[maxn], LC[maxn], RC[maxn], col[maxn];
    int tot, flag, mark[maxn], top[maxn]; 
    bool is_root(int u) { return (ch[fa[u]][1] != u) && ( ch[fa[u]][0] != u ); }
    void Modify(int u, int x) { if(!u) return; mark[u] = x; LC[u] = RC[u] = col[u] = x, sum[u] = 1; }
    void Rev(int u) { if(!u) return; rev[u] ^= 1; swap(ch[u][0], ch[u][1]); swap(LC[u], RC[u]); }

    void push_down(int u)
    {
        if(!is_root(u)) push_down(fa[u]);
        if(rev[u]) Rev(ch[u][0]), Rev(ch[u][1]), rev[u] = 0;
        if(mark[u]) Modify(ch[u][0], mark[u]), Modify(ch[u][1], mark[u]), mark[u] = 0;
    }

    void update(int u)
    {
        int lc = ch[u][0], rc = ch[u][1];
        if(flag)
        {
            sum[u] = sum[lc] + sum[rc]  + ((col[u] != RC[lc]) && (col[u] != LC[rc]));
            sum[u] -= ((col[u] == RC[lc]) && (col[u] == LC[rc]));
            LC[u] = LC[lc], RC[u] = RC[rc]; 
            if(!lc) LC[u] = col[u]; if(!rc) RC[u] = col[u];
        }
        else top[u] = top[lc] ? top[lc] : u;
    }

    void rotate(int u)
    {
        int f = fa[u], gf = fa[f];
        int k = ch[f][1] == u;
        fa[u] = gf; if(!is_root(f)) ch[gf][ch[gf][1] == f] = u;
        ch[f][k] = ch[u][k ^ 1], fa[ch[u][k ^ 1]] = f;
        fa[f] = u, ch[u][k ^ 1] = f;
        update(f), update(u);
    }

    void Splay(int u)
    {
        push_down(u);
        while(!is_root(u))
        {
            int f = fa[u], gf = fa[f];
            if(!is_root(f)) (ch[gf][1] == f) ^ (ch[f][1] == u) ? rotate(u) : rotate(f);
            rotate(u);
        }
        update(u);
    }

    void Access(int u)
    {
        for(int i = u, last = 0; i; last = i, i = fa[i])
        {
            Splay(i); 
            if(!flag)
            {
                int x = top[last], y = top[ch[i][1]];
                if(x) ST.update(1, 1, n, dfn[x], dfn[x] + size[x] - 1, -1);
                if(y) ST.update(1, 1, n, dfn[y], dfn[y] + size[y] - 1, 1);
            }
            ch[i][1] = last; update(i);
        }
    }
    void Make_root(int u) { Access(u); Splay(u); Rev(u); }
    void Split(int u, int v) { Make_root(u); Access(v); Splay(v); }

    void Change1(int u) { ++ tot; Access(u); }
    void Change2(int u) { Split(1, u); Modify(u, ++ tot); }
    void Link(int u, int v) { Make_root(u); fa[u] = v; }

    int Query(int u, int v) { Split(u, v); return sum[v]; }
}LCT1, LCT2;

void dfs(int u, int fa)
{
    LCT1.fa[u] = fa; 
    dfn[u] = ++ timer; size[u] = 1; dep[u] = dep[fa] + 1;
    id[timer] = u; LCT1.top[u] = u;
    for(int i = E1.head[u]; i; i = E1.last[i])
    {
        int v = E1.to[i];
        if(v == fa) continue;
        dfs(v, u); size[u] += size[v];
    }
}

int main()
{
    n = read(), m = read(); LCT2.flag = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        LCT2.col[i] = LCT2.RC[i] = LCT2.LC[i] = ++ LCT2.tot, LCT2.sum[i] = 1;
    for(int i = 1; i < n; i ++)
    {
        int x = read(), y = read();
        E1.add(x, y); LCT2.Link(x, y);
    }
    dfs(1, 0); 
    ST.Build(1, 1, n);
    for(int i = 1; i <= m; i ++)
    {
        int opt = read();
        if(opt == 1)
        {
            int x = read();
            LCT1.Change1(x); LCT2.Change2(x);
        }
        else if(opt == 2)
        {
            int x = read(), y = read();
            printf("%d
", LCT2.Query(x, y));
        }
        else if(opt == 3)
        {
            int x = read();
            printf("%d
", ST.query(1, 1, n, dfn[x], dfn[x] + size[x] - 1));
        } 
    }
    return 0;
}