浅谈线段树

Posted 2021-01-02 bcoier

[原文地址](https://tbr-blog.blog.luogu.org/solution-p3372
)
# 一、概念
```
线段树，在各个节点保存一条线段
用于高效解决连续区间的动态查询问题
由于二叉结构的特性
它每次操作能保持每个操作的复杂度为O(logn)
```
# 二、操作
## 1、预处理
```
我们先考虑节点个数是2的n次方的一段区间
在这种情况下
线段树是一棵满二叉树
所以它每个非叶子结点都有两个儿子
这里叫做左儿子和右儿子
```
~~图好像有点丑~~
```
我们先来分析下线段树的一些性质
不难发现，每一个节点的左儿子就是这个节点的编号乘以二，右儿子也是这个点的编号乘以二再加一
所以查询操作如下：
#define ls(k) (k)*2//找左儿子
#define rs(k) (k)*2+1//找右儿子
我们也可以用位运算来优化，思路如下
#define ls(k) (k)<<1
#define rs(k) (k)<<1|1
```
```
接下来就是建树
建树的操作就是将一段区间不断二分，直到遍历到叶子节点。
到叶子节点后，我们可以开始维护我们想要维护的东西
如最大值、最小值、区间和等
之后，我们再回溯上去，把其他节点也更新
具体代码实现如下：
inline void build(int k,int l,int r)
{
if(l==r)
{
sum[k]=a[l];//区间和
min[k]=a[l];//区间最小值
max[k]=a[l];//区间最大值
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(ls(k),l,mid);//遍历左儿子
build(rs(k),mid+1,r);//遍历右儿子
sum[k]=sum[ls(k)]+sum[rs(k)];//区间和
//区间最小于区间最大代码类似，在此不做赘述
}
```
## 2、区间修改
```
这道题需要我们维护的修改操作是区间加
我认为修改操作和建树类似
也是先不断二分
如果修改的区间包括目前遍历的区间
那就回溯，否则就继续二分
具体代码实现如下：
inline void ad(int k,int l,int r,int v)
{
add[k]+=v;//懒标记，之后也会详细说明
sum[k]+=v*(r-l+1);
}//把被包括的区间进行操作
inline void ADD(int k,int l,int r,int x,int y,int v)
{
if(l>=x&&r<=y)
{
ad(k,l,r,v);
return;
}//如果包括遍历区间，就直接加
int mid=(l+r)>>1;
pushdown(k,l,r,mid);//标记下传，之后会细讲
if(x<=mid)
{
ADD(ls(k),l,mid,x,y,v);
}
if(mid<y)
{
ADD(rs(k),mid+1,r,x,y,v);
}
sum[k]=sum[ls(k)]+sum[rs(k)];
//和建树操作类似
}
```
## 3、区间查询
```
这道题是要我们维护区间和
那么和区间修改一样
不断二分，如果修改的区间包括目前遍历的区间
那就返回这一区间的区间和
然后回溯
具体代码如下：
inline int check(int k,int l,int r,int x,int y)
{
if(l>=x&&r<=y)
{
return sum[k];
}//修改的区间包括目前遍历的区间，就返回这一区间的区间和
int mid=(l+r)>>1,ans=0;
pushdown(k,l,r,mid);//标记下传
if(x<=mid)
{
ans=check(ls(k),l,mid,x,y);
}
if(mid<y)
{
ans+=check(rs(k),mid+1,r,x,y);
}//把左右部分的值全都加上
return ans;
}
```
## 4、懒标记和标记下传
```
线段树的优点不在于全记录
（那样复杂度就不是O(logn)了）
而在于传递式记录
其实线段树的维护还有另一种方法，叫做标记永久化
但是由于作者太蒟，所以在此就不作介绍了
有兴趣的话可以来切一下这些题目
```
## [1st](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3834)
## [2nd](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3919)
```
标记下传的本质也和前面操作一样
如果操作一段区间
那就只要记录在这段区间公共祖先节点上
（单点其实也是区间，只不过长度为1罢了）
我们采用上述方式
就只需要在每次操作时下传一次标记即可
大大节省了时间
这种不仅简单粗暴，还剩时间的方法
被称为————懒标记（lazy tag）
具体实现如下：
inline void pushdown(int k,int l,int r,int mid)
{
if(!add[k])
{
return;
}
ad(ls(k),l,mid,add[k]);
ad(rs(k),mid+1,r,add[k]);
add[k]=0;
}
```
# 接下来是代码汇总：
```
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ls(k) (k)<<1
#define rs(k) (k)<<1|1
#define int long long
#define maxn 100005
int n,m,a[maxn],x,y,z,b,sum[maxn*4],add[maxn*4];
inline void build(int k,int l,int r)
{
if(l==r)
{
sum[k]=a[l];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(ls(k),l,mid);
build(rs(k),mid+1,r);
sum[k]=sum[ls(k)]+sum[rs(k)];
}
inline void ad(int k,int l,int r,int v)
{
add[k]+=v;
sum[k]+=v*(r-l+1);
}
inline void pushdown(int k,int l,int r,int mid)
{
if(!add[k])
{
return;
}
ad(ls(k),l,mid,add[k]);
ad(rs(k),mid+1,r,add[k]);
add[k]=0;
}
inline void ADD(int k,int l,int r,int x,int y,int v)
{
if(l>=x&&r<=y)
{
ad(k,l,r,v);
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
pushdown(k,l,r,mid);
if(x<=mid)
{
ADD(ls(k),l,mid,x,y,v);
}
if(mid<y)
{
ADD(rs(k),mid+1,r,x,y,v);
}
sum[k]=sum[ls(k)]+sum[rs(k)];
}
inline int check(int k,int l,int r,int x,int y)
{
if(l>=x&&r<=y)
{
return sum[k];
}
int mid=(l+r)>>1,ans=0;
pushdown(k,l,r,mid);
if(x<=mid)
{
ans=check(ls(k),l,mid,x,y);
}
if(mid<y)
{
ans+=check(rs(k),mid+1,r,x,y);
}
return ans;
}
signed main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
}
build(1,1,n);
while(m--)
{
cin>>b>>x>>y;
if(b==1)
{
cin>>z;
ADD(1,1,n,x,y,z);
}
else
{
cout<<check(1,1,n,x,y)<<endl;
}
}
return 0;
}
```