hdu 6444 网络赛 Neko's loop（单调队列 + 裴蜀定理）题解

Posted 2021-01-02 kirinsb

题意：有编号为0~n-1的n个游戏，每个活动都有一个价值（可为负），给你m，s和k，你可以从任意一个编号开始玩，但是下一个游戏必须是编号为（i + k）%n的游戏，你最多能玩m次游戏，问你如果最后你手里要有s的价值，那么你至少一开始要有多少价值。

思路：由裴蜀定理可以知道，如果有n个值首尾相连，间隔为k地走，那么最后会有一个循环节，这样的循环节一共有gcd(n, k)个，每个循环节长度n / gcd(n, k)个。所以我们只要找出所有循环节，并且把每个循环节的最大价值算出来就行了。对于每个循环节，他能获得的最大价值有两种情况，记循环节长度len：

1.m整除len：找不超过len的最大价值，如果走一遍循环节获得价值为正 ，那么再加上sum*（m / len - 1）

2.m不整除len：找不超过m%len的最大价值，如果走一遍循环节获得价值为正 ，那么再加上sum*（m / len）；这里有一种情况可能前面提到的状况不是最优，当走一遍循环节为负并且m>len时，问题其实转化为了上面第一种情况

故当次循环节的最大价值为以上两种情况最大值。

关于求“不超过len的最大价值”和“不超过m%len的最大价值”可以用单调队列解决：开两倍循环节长度的数组储存两个循环节，然后变成前缀和，这样我们可以用单调队列维护，用前缀和相减计算出最大价值。

参考：HDU 6444 Neko‘s loop（思维+长度不超过L的最大子段和）

代码：

#include<map>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 20000 + 10;
const int seed = 131;
const int MOD = 1000000000 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
ll a[maxn];
ll arr[maxn], q[maxn];
int vis[maxn];
int gcd(int a, int b){
    return b == 0? a : gcd(b,a % b);
}
ll sum[maxn];   //前缀和
ll cal(int sz, int len){
    ll ret = 0;
    ll head = 0, tail = 0;
    for(int i = 1; i <= len << 1; i++){
        if(i == 1) sum[i] = arr[i];
        else sum[i] = sum[i - 1] + arr[i];
        if(i <= sz) ret = max(ret, sum[i]);
        while(head < tail && q[head] + sz < i) head++;
        if(head < tail) ret = max(ret, sum[i] - sum[q[head]]);
        while(head < tail && sum[q[tail - 1]] >= sum[i]) tail--;
        q[tail++] = i;
    }
    return ret;
}
ll solve(int m, int len){
    ll all = 0;
    for(int i = 1; i <= len; i++)
        all += arr[i];  //总和
    ll ans1 = cal(m % len, len);
    ll ans2 = cal(len, len);
    if(all > 0 && m / len >= 1)
        ans1 += all * 1LL * (m / len);
    if(all > 0 && m / len >= 2)
        ans2 += all * 1LL * (m / len - 1);
    return max(ans1, ans2);
}
int main(){
    int T, Case = 1;
    ll n, m, k, s;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld%lld%lld", &n, &s, &m, &k);
        for(int i = 0; i < n; i++){
            scanf("%lld", &a[i]);
            vis[i] = 0;
        }
        int num = gcd(n, k);    //循环节个数
        int len= n / num;      //循环节长度
        ll Max = -INF;
        for(int i = 0, tt = 1; tt <= num && i < n; i++){
            if(vis[i]) continue;
            vis[i] = 1;
            int point = i;
            for(int j = 1; j <= len; j++){
                arr[j] = arr[j + len] = a[point];
                point = (point + k) % n;
                vis[point] = 1;
            }
            Max = max(Max, solve(m, len));
            tt++;
        }
        if(Max >= s)
            printf("Case #%d: 0
", Case++);
        else
            printf("Case #%d: %lld
", Case++, s - Max);
    }
    return 0;
}