图论-树上启发式合并(DSU On Tree)

Posted 2021-01-01 ghcred

Disjoint Set Union On Tree ，似乎是来自 Codeforces 的一种新操作，似乎被叫做“树上启发式合并”。
在不带修改的有根树子树信息统计问题中，似乎树上莫队和这个 DSU On Tree 是两类常规操作。
先对树按轻重链剖分。对于每个节点，先计算轻儿子为根的子树信息，每次计算后消除影响，再去计算其他轻儿子。然后计算重儿子为根的子树信息，不消除影响，并把轻儿子们为根的子树信息加入，再合并这个节点本身的信息。由于一个大小 (x) 的子树被消除影响后，都把信息合并到了一个大于等于 (2x+1) 的子树，如此递归下去，它显然至多被消除影响 (log n) 次。利用轻重链剖分的思想，就把这个问题 (O(n)) 解决了（假设合并信息是 (O(1)) 的）。

一道求子树内众数（记在 ans 里）的题的代码：

#include <stdio.h>
#include <vector>

using namespace std;

const int _N = 160000;

vector<int> G[_N];
int hvs[_N], siz[_N], cnt[_N], A[_N], ans[_N], mx;

void connect(int p, int dad)
{
    siz[p] = 1;
    for (int i = G[p].size() - 1; i >= 0; --i) {
        int v = G[p][i];
        if (v == dad) continue;
        connect(v, p);
        siz[p] += siz[v];
        if (!hvs[p] || siz[hvs[p]] < siz[v]) hvs[p] = v;
    }
    return;
}

void clear(int p, int dad)
{
    --cnt[A[p]];
    for (int i = G[p].size() - 1; i >= 0; --i) {
        int v = G[p][i];
        if (v == dad) continue;
        clear(v, p);
    }
    return;
}

void insert(int p, int dad)
{
    mx = max(mx, ++cnt[A[p]]);
    for (int i = G[p].size() - 1; i >= 0; --i) {
        int v = G[p][i];
        if (v == dad) continue;
        insert(v, p);
    }
    return;
}

void dfs(int p, int dad)
{
    for (int i = G[p].size() - 1; i >= 0; --i) {
        int v = G[p][i];
        if (v == dad || v == hvs[p]) continue;
        dfs(v, p);
        clear(v, p);
        mx = 0;
    }
    if (hvs[p]) dfs(hvs[p], p);
    for (int i = G[p].size() - 1; i >= 0; --i) {
        int v = G[p][i];
        if (v == dad || v == hvs[p]) continue;
        insert(v, p);
    }
    ans[p] = mx = max(mx, ++cnt[A[p]]);
    return;
}

int main()
{
    int N;
    scanf("%d", &N);
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
        scanf("%d", &A[i]);
    for (int a, b, i = 1 ; i < N; ++i) {
        scanf("%d%d", &a, &b);
        G[a].push_back(b), G[b].push_back(a);
    }
    connect(1, 0);
    dfs(1, 0);
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
        printf("%d ", siz[i] - ans[i]);
    return 0;
}

CF 上原博客 [Tutorial] Sack (dsu on tree)
模板题 CF600E 子树众数统计