codeforces 776E The Holmes Children

Posted 2021-01-01 apocrypha

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codeforces 776E The Holmes Children

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题意

定义(f(n))为满足(x+y=n)并且(gcd(x,y)=1)的有序正整数对个数，定义(g(n)=sum_{d|n}f(frac{n}{d}))，定义(F_k(n))如下：
[ F_k(n)=egin{cases} f(g(n)) & k=1 g(F_{k-1}(n)) & k>1且k\%mod=0 f(F_{k-1}(n)) & k>1且k\%mod=1 end{cases}]
给出(n)，(k)，求(F_k(n))。((1leq n,k leq 10^{12}))

题解

首先观察(f(n))，可以比较容易地推出(f(n)=phi(n))。推导过程如下：我们先假设一对((x,y))，使得(x+y=n)并且(gcd(x,y)=k eq1)，于是我们可以推出(gcd(x,n-x)=k)，(k)为(x)和(n-x)的一个因数，所以(k)也是(n)的一个因数，那么(gcd(n,x)=k)，所以我们可以得知所有不满足条件的正整数对((x,y))的(x)都不是与(n)互质的，所以满足条件的就是和(n)互质的那些，那么这个就是求欧拉函数了。
然后我们去看(g(n))，可以退出(g(n)=n)，因为一个数所有因数的欧拉函数之和等于这个数本身。推导过程如下：假设(n=a*b)，那么(phi(b))为所有与(b)的(gcd)为１的数，那么这些数与(n)的(gcd)为(a)，所以所有与(n)的(gcd)为(a)的数都会对(phi(b))作出１的贡献，而由于每个小于(n)的数都与(n)有一个(gcd)，所以每个数一定都会作出１的贡献，最后答案就是(n)。
知道这两个结论之后，就可以将(F_k(n))变成(phi^{frac{k+1}{2}}(n))，即求(frac{k+1}{2})次的欧拉函数，而由于欧拉函数的值求到(log)次左右之后就会变成１，所以我们最多求(log)次欧拉函数，直到(n=1)的时候，就可以直接输出答案了，总的复杂度为(O(logn*sqrt{n}))。

Ｃｏｄｅ

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
bool Finish_read;
template<class T>inline void read(T &x){Finish_read=0;x=0;int f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;if(ch==EOF)return;ch=getchar();}while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();x*=f;Finish_read=1;}
template<class T>inline void print(T x){if(x/10!=0)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
template<class T>inline void writeln(T x){if(x<0)putchar('-');x=abs(x);print(x);putchar('
');}
template<class T>inline void write(T x){if(x<0)putchar('-');x=abs(x);print(x);}
/*================Header Template==============*/
#define PAUSE printf("Press Enter key to continue..."); fgetc(stdin);
const ll Md=1e9+7;
ll n,k;
/*==================Define Area================*/
ll Euler(ll x) {
    ll res=x;
    for(ll i=2ll;i*i<=x;i++) {
        if(x%i==0) {
            res=res-res/i;
            while(x%i==0) x/=i;
        }
    }
    if(x>1) res-=res/x;
    return res;
}

void Calc() {
    ll c=(k+1)/2;
    ll res=Euler(n);
    c--;
    while(c--) {
        res=Euler(res);
        if(res==1) break;
    }
    printf("%lld
",res%Md);
}

int main() {
    read(n);read(k);
    Calc();
    return 0;
}