P2512 [HAOI2008]糖果传递

Posted 2021-01-01 lltyyc

传送门

算法 ： 瞎搞......

真要说什么算法那应该是数论吧...

这种题是真的恶心....

以下为一堆的结论和证明...

（比较细，实在不想看也可以直接看结论）

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首先如果要让每个人最终的糖果一样多

1.那么肯定最终每个人的糖果数量为 每个人糖果数量的平均数..(显然...)

还有一个显然的结论：

2.如果 a 把糖分给别人，那么 a 就不应该再收到糖

不然就不可能是最优方法（a 还不如少分一点糖给别人,这样糖果的交换数量还更小）

当然反过来也一样。

3.如果 a 的糖果数量大于平均数，那么 a 一定要分糖给别人（由 1. 可得）

并且 a 也不会再接受其他人的糖（由 2. 可得）

反过来也是一样： 

如果 a 的糖果数量小于平均数，那么 a 一定要从别人接受糖，并且 a 也不会分给其他人糖。

所以有一种比较好的方法：对于每个人只要把多出来的糖传给下一个就好了

如果是缺少糖就把需求传给别人，让别人把需求传下去，设多的是正数，那么需求就为负数，如果负数被抵消了就说明有正数把需求"填满"了，相当于有多出来的糖返回给缺少的人了....(这里可能需要一点网络流反向边的思想...)。

（但是网络流是不可能的，数据太大，直接凉了）

设第 i 个人 原本的糖果数量为 a[ i ]，第 i 个人原本的糖果数量减去平均数量 为 b[ i ]，（b[ i ] 可能为负数，表示 i 需要 abs( b[ i ] ) 个糖）

那么最终就是要经过转移让所有的 b 都为 0 。

先考虑第一个人 k 怎么分（因为是环形，所以每个人都可以是第一个人）

由 3. 可得，要分 b[ k ] 个糖

那要怎么分（可以左边给几个，右边给几个，也可以只给一边）

方案太多不好搞

但是要注意：4.分给两边其实相当于一边的某一个点把多出来的全部分给另一边....

怎么描述呢：

　　就是说 k 分给左边几个糖，分着分着，分到点 j 分完了，剩下的分给右边，最后分到 j 肯定也刚好分平均（由 1. 易证得）

　　那就相当于点 j 把要分的的糖全部分给右边

怎么抽象地证明呢：

　　自己动手，丰衣足食...
　　也不难，k 分给左边几个糖，分到 j 没了，说明 j 是有需求的

　　相当于 j 带着需求跑到 k ，这时 j 的需求也刚好没了，然后 k 少了几个糖，把剩下的糖往另一边分

　　也就相当于 j 带着全部需求跑了一圈，跑完就分完了

所以由4.可知

我们只需要判断每个点把(需求 or 盈余)只往一边分需要多少糖

对于第一个点 k 要分b[ k ] 个，则对于 k+1 要分 b[k+1]+b[ k ]，......，对于 k+m 则要分 b[ k,k+1,...,k+m] 个

那要怎么快速计算这种东西呢

前缀和...

先预处理出 1 到 n 的前缀和，为sum

对于前面的式子，可以化为 abs(sum[ k+1 ]-sum[ k ])，abs(sum[ k+2 ]-sum[ k ])，...，abs(sum[ k+m ]-sum[ k ])

那要怎么选取 k 才能使之和最小呢

稍微转换一下：

把每个sum都放到数轴上，则前面的式子就是某个点 k 到所有其他店的距离之和

怎么找最小的和那就是“货仓选址”问题了

好吧讲了这么多终于可以发代码了......

代码难度为0.....

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)
    {
        if(ch==‘-‘) f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
int n;
int a[1000007],b[1000007];
long long ans,tot;
long long sum[1000007];
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=read(),tot+=a[i];
    tot/=n;

    for(int i=1;i<=n;i++)
        b[i]=a[i]-tot;

    for(int i=1;i<=n;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+b[i];

    sort(sum+1,sum+n+1);
    tot=sum[(n+1)/2];

    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans+=abs(tot-sum[i]);

    cout<<ans;
    return 0;
}