概率DP入门总结 16题(转)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了概率DP入门总结 16题(转)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

很早就被概率题和期望题虐得不行了,这次真的不能忍了,怒刷概率dp,学到了很多,都是最基础的,还需日后强化。

下面说一下我个人的总结: 

   很多概率题总逃不开用dp转移。
           
        期望题总是倒着推过来的,概率是正着推的,多做题就会理解其中的原因
            
            有些期望题要用到有关 概率 或 期望的常见公式或思想
       
                  遇到dp转移方程(组)中有环的,多半逃不出高斯消元(手动 和 写代码 两种)
  
                          这套题中还有道树上的dp转移,还用dfs对方程迭代解方程, 真是大开眼界了
                
                                    当然还有与各种算法结合的题,关键还是要学会分析

                                               当公式或计算时有除法时, 特别要注意分母是否为零

 

以下的题都是很常见的简单题或中等题,简单题尽量自行思考,最好不要看题解

1、POJ 3744 Scout YYF I (简单题)
 
很裸的状态转移,并用矩阵乘法分段优化, 以前也出现过不少这样的题了。
 
解题报告 题意很简单的, 很常见的矩阵做法
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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[11];
void mult(double a[][2], double b[][2]) {  //矩阵乘法 a = a*b
    int i, j, k;
    double c[2][2] = {0.0};
    for(i = 0; i < 2; i++)
        for(k = 0; k < 2; k++) if(a[i][k] != 0.0) {
            for(j = 0; j < 2; j++)
                c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
        }
    for(i = 0; i < 2; i++)
        for(j = 0; j < 2; j++)
            a[i][j] = c[i][j];
}
int n;
double p;
double A[2][2],ans[2][2];
void solve(int n) {   // ans = A^n
    A[0][0] = p; A[0][1] = 1;
    A[1][0] = 1-p ;A[1][1] = 0;
    ans[0][0] = ans[1][1] = 1.0;
    ans[0][1] = ans[1][0] = 0;
    while(n) {
        if(n&1) mult(ans, A);
        mult(A, A);
        n >>= 1;
    }
}

int t;
int main() {
    int i, j;
    while( ~scanf("%d%lf", &n, &p)) {
        for(i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
        sort(a, a+n);
        double ret = 1.0;
        solve(a[0]-1);
        ret *= (1-ans[0][0]);
        for(i = 1; i < n; i++) {
               solve(a[i]-a[i-1]-1);
            ret *= (1-ans[0][0]);
        }
        printf("%.7f\\n", ret);
    }
    return 0;
}
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 2、POJ 3071 Football      (简单题)
 足球赛的淘汰赛问题。问最后胜利的概率最大的球队。每个队的胜率都用dp算一下比较
题意:2^n个队进行足球赛,每个队打败另外一个队都有一个概率。
问最后胜利的概率最大的是哪只球队。
概率DP。
设dp[i][j]表示第i场比赛第j个球队胜利的概率。
画图看看就可以得出公式了。
第一轮,(1,2)(3,4)(5,6)``````
很容易算出来。
第二轮的时候。
比如算3胜出的概率。首先是3在第一轮要胜出,同时要打败(1,2)种的胜者,这是全概率公式了。
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/*
POJ 3071
题意:2^n个队进行足球赛,每个队打败另外一个队都有一个概率。
问最后胜利的概率最大的是哪只球队。

概率公式,dp算一下就可以了。
*/
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;

double dp[8][200];//dp[i][j]表示在第i场比赛中j胜出的概率
double p[200][200];
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        if(n==-1)break;
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=0;i<(1<<n);i++)
          for(int j=0;j<(1<<n);j++)
            scanf("%lf",&p[i][j]);
            //cin>>p[i][j];
        for(int i=0;i<(1<<n);i++)dp[0][i]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)//2^n个人要进行n场比赛
        {
            for(int j=0;j<(1<<n);j++)
            {
                int t=j/(1<<(i-1));
                t^=1;
                dp[i][j]=0;
                for(int k=t*(1<<(i-1));k<t*(1<<(i-1))+(1<<(i-1));k++)
                  dp[i][j]+=dp[i-1][j]*dp[i-1][k]*p[j][k];
            }
        }
        int ans;
        double temp=0;
        for(int i=0;i<(1<<n);i++)
        {
            if(dp[n][i]>temp)
            {
                ans=i;
                temp=dp[n][i];
            }
        }
        printf("%d\\n",ans+1);
    }
    return 0;
}
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3、codeforces 148D Bag of mice   (简单题)
 
抓老鼠问题。记忆化搜索的话不是很难,要写成for循环的那就比较麻烦了
 

题意:

     袋子里有w只白鼠和b只黑鼠

     龙和公主轮流从袋子里抓老鼠。谁先抓到白色老师谁就赢。
     公主每次抓一只老鼠,龙每次抓完一只老鼠之后会有一只老鼠跑出来。
     每次抓老鼠和跑出来的老鼠都是随机的。
     如果两个人都没有抓到白色老鼠则龙赢。公主先抓。

     问公主赢的概率。

解析:

    这题选用记忆化搜索还是比较容易的,不容易错,很快能出来,用for循环做的话有点 求期望的感觉。

    思路在代码中注明

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
double dp[1001][1001];
bool vis[1001][1001];
int w, b;
double dfs(int w, int b) {
    if (w <= 0) return 0; //没有白就输
    if (b <= 0) return 1; //有白球没有黑就赢
    if (vis[w][b]) return dp[w][b];
    vis[w][b] = 1;
    double &ret = dp[w][b];
    ret = w * 1.0 / (w + b);   //摸到白
    if (b >= 2) {               //公主和恐龙都摸到黑
        double tp = b * 1.0 / (w + b);  
        b--;
        tp *= b * 1.0 / (w + b);
        b--;
            //    白的跑了                               黑的跑了
        ret += tp* (w * 1.0 / (w + b) * dfs(w - 1, b) + b * 1.0 / (w + b) * dfs(w, b - 1));
    }
    return ret;
}
int main() {
    scanf("%d%d", &w, &b);
    printf("%.9f\\n", dfs(w, b));
    return 0;
}
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以上是关于概率DP入门总结 16题(转)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

周二上午

(POJ 3744)Scout YYF I(概率dp+矩阵快速幂)

[填坑]期望概率DP 入门级别

整理数学期望和概率DP

概率DP入门

Codeforces123E. Maze树形dp概率dp证明题