luogu3374/3368 树状数组

Posted 2021-01-01 ressed

现在才学树状数组...太惭愧了...而且并没有弄懂原理

设lowbit(x)表示的是把x的二进制只留下最低一位的1，然后lowbit(x)=x&(-x) （我也不知道为什么）

设c[x]表示从i往前一共lowbit(x)个数的和，那么x-lowbit(x)就是c[x]表示的范围的前一个数。

然后可以得到c[x]=c[x-lowbit(x)+lowbit(x)>>1]+c[x-lowbit(x)+lowbit(x)>>1+lowbit(x)>>2]+c[x-lowbit(x)+lowbit(x)>>1+lowbit(x)>>2+lowbit(x)>>3]....+c[x-1]+a[x]。

也就是说，如果将这个关系做成一个树，x的父亲就是x+lowbit(x)（观察一下上面的式子，很容易发现每一项都满足）

要询问1到x的和的话，只要一直加c[x]，然后让x-=lowbit(x)直到x=0就好了

然后要修改一个点x的话，就一直往上修改它的父亲直到x>n就可以了。

也就是说，最基本的树状数组支持的是单点修改和前缀和查询，然后前缀和可以很容易地做成区间和（端点减一减）。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
 5 #define LL long long int
 6 const int maxn=500050;
 7 
 8 inline int rd(){
 9     int x=0;char c=getchar();int neg=1;
10     while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘) neg=-1;c=getchar();}
11     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘) x=x*10+c-‘0‘,c=getchar();
12     return x*neg;
13 }
14 
15 int N,M;
16 LL c[maxn];
17 
18 inline void add(int x,int y){
19     while(x&&x<=N) c[x]+=y,x+=lowbit(x);
20 }
21 inline LL query(int x){
22     LL re=0;while(x) re+=c[x],x-=lowbit(x);return re;
23 }
24 
25 int main(){
26     int i,j,k;
27     N=rd(),M=rd();
28     for(i=1;i<=N;i++) add(i,rd());
29     for(i=1;i<=M;i++){
30         int a=rd(),b=rd(),c=rd();
31         if(a==1) add(b,c);
32         else printf("%lld
",query(c)-query(b-1));
33     }
34 }

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也可以支持区间修改和单点查询，只要做一个差分，区间修改就变成了两个端点的修改，单点查询就变成了前缀和查询。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
 5 #define LL long long int
 6 const int maxn=500050;
 7 
 8 inline int rd(){
 9     int x=0;char c=getchar();int neg=1;
10     while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘) neg=-1;c=getchar();}
11     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘) x=x*10+c-‘0‘,c=getchar();
12     return x*neg;
13 }
14 
15 int N,M;
16 LL c[maxn];
17 
18 inline void add(int x,int y){
19     while(x&&x<=N) c[x]+=y,x+=lowbit(x);
20 }
21 inline LL query(int x){
22     LL re=0;while(x) re+=c[x],x-=lowbit(x);return re;
23 }
24 
25 int main(){
26     int i,j,k;
27     N=rd(),M=rd();
28     for(i=1,j=0;i<=N;i++){
29         k=rd();add(i,k-j);j=k;
30     };
31     for(i=1;i<=M;i++){
32         int a=rd(),b=rd();
33         if(a==1){
34             int c=rd(),d=rd();
35             add(b,d);add(c+1,-d);
36         }
37         else printf("%lld
",query(b));
38     }
39 }

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然后貌似区间修改和区间查询也是可以的，需要推一波式子

然后我选择线段树......

 

高级用法以后慢慢填