[USACO08DEC]Trick or Treat on the Farm

Posted 2021-01-01 mrclr

嘟嘟嘟

 

这道题有一个特别重要的一点，就是节点数为 n 的图只有 n 条边，于是就有一下几个性质：

1.每一个点的出度都为1。

2.一个k个节点的强连通分量都是有k条边的环，而且这个环不会通往其他的点，只可能有别的点通往这个环。

所以说，对于一个在环中的点，答案就是这个环的节点数（包括自环），对于一个不在环中的点，答案就是通往环的距离+环的节点数。

 

因此，首先用tarjan缩点，然后反向建立缩点后的图。为什么要反向建呢？先考虑对于上文第二种情况，暴力的做法就是每一次遇到这样的一个点，就暴力的一步一步找，直到找到环为止。然而如果整张图只有一个自环，时间复杂度就会退化到O(n²)。因此要想办法维护每一个环外的点到环的距离。如果我们反向建边，就相当于求每一个环到环外点的距离，而且因为环外点之间都只有一条边，因此路径是唯一的，所以只要bfs一次就能求出通往这个环的点的距离。

 

还有几点要注意：

1.就是上文求出的距离的节点编号都是缩点后的编号，和原图编号不一样，因此我们要建立一个从新图编号到原图编号的映射。又因为这个映射是一对多，所以还得开一个vector存。这个在tarjan的时候就可以顺便处理出来。

2.缩点后，自环和单点是没有区别的，所以必须先把是自环的点标记一下。代码中又开了一个vector，把是自环的点都存了下来（不知有没有更好的方法）。

  1 #include<cstdio>
  2 #include<iostream>
  3 #include<algorithm>
  4 #include<cmath>
  5 #include<cstring>
  6 #include<cstdlib>
  7 #include<vector>
  8 #include<queue>
  9 #include<stack>
 10 #include<cctype>
 11 using namespace std;
 12 #define enter puts("")
 13 #define space putchar(‘ ‘)
 14 #define Mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
 15 typedef long long ll;
 16 typedef double db;
 17 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 18 const db eps = 1e-8;
 19 const int maxn = 1e5 + 5;
 20 inline ll read()
 21 {
 22     ll ans = 0;
 23     char ch = getchar(), last = ‘ ‘;
 24     while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
 25     while(isdigit(ch)) ans = (ans << 3) + (ans << 1) + ch - ‘0‘, ch = getchar();
 26     if(last == ‘-‘) ans = -ans;
 27     return ans;
 28 }
 29 inline void write(ll x)
 30 { 
 31     if(x < 0) putchar(‘-‘), x = -x;
 32     if(x >= 10) write(x / 10);
 33     putchar(x % 10 + ‘0‘);
 34 }
 35 
 36 int n;
 37 vector<int> v[maxn];
 38 
 39 int dfn[maxn], low[maxn], cnt = 0;
 40 bool in[maxn];
 41 stack<int> st;
 42 int col[maxn], val[maxn], ccol = 0;
 43 vector<int> pos[maxn];            //映射 
 44 void tarjan(int now)
 45 {
 46     dfn[now] = low[now] = ++cnt;
 47     st.push(now); in[now] = 1;
 48     for(int i = 0; i < (int)v[now].size(); ++i)
 49     {
 50         if(!dfn[v[now][i]])
 51         {
 52             tarjan(v[now][i]);
 53             low[now] = min(low[now], low[v[now][i]]);
 54         }
 55         else if(in[v[now][i]]) low[now] = min(low[now], dfn[v[now][i]]);
 56     }
 57     if(low[now] == dfn[now])
 58     {
 59         int x; ccol++;
 60         do
 61         {
 62             x = st.top();
 63             in[x] = 0; st.pop();
 64             col[x] = ccol;
 65             pos[ccol].push_back(x);
 66             val[ccol]++;
 67         }while(x != now);
 68     }
 69     return;
 70 }
 71 
 72 vector<int> v2[maxn];            //新图 
 73 void newGraph(int now)
 74 {
 75     for(int i = 0; i < (int)v[now].size(); ++i)
 76     {
 77         int x = col[now], y = col[v[now][i]];
 78         if(x == y) continue;
 79         v2[y].push_back(x);            //反向建边 
 80     }
 81 }
 82 
 83 vector<int> ccir;                    //储存是自环的点 
 84 int ans[maxn], ans2[maxn];            //ans[]是新图的节点编号的答案，ans2[]是原图的 
 85 
 86 void bfs(int s)
 87 {
 88     ans[s] = val[s];
 89     queue<int> q;
 90     q.push(s);
 91     while(!q.empty())
 92     {
 93         int now = q.front(); q.pop();
 94         for(int i = 0; i < v2[now].size(); ++i)
 95         {
 96             ans[v2[now][i]] = ans[now] + 1;
 97             q.push(v2[now][i]);
 98         }
 99     }
100 }
101 
102 int main()
103 {
104     n = read();
105     for(int i = 1; i <= n; ++i) 
106     {
107         int x = read();
108         v[i].push_back(x);
109         if(i == x) ccir.push_back(i);        //该点是自环 
110     }
111     for(int i = 1; i <= n; ++i) if(!dfn[i]) tarjan(i);
112     for(int i = 1; i <= n; ++i) newGraph(i);
113     for(int i = 0; i < (int)ccir.size(); ++i) ans[col[ccir[i]]] = -1;        //把是自环的点在新图上标记一下 
114     for(int i = 1; i <= ccol; ++i) if(val[i] > 1 || ans[i] == -1) bfs(i);    
115     //如果这个点是一个环（包括自环），就维护所有能到达他的点的距离 
116     for(int i = 1; i <= ccol; ++i) 
117         for(int j = 0; j < (int)pos[i].size(); ++j) ans2[pos[i][j]] = ans[i];    //再将答案映射到原图上 
118     for(int i = 1; i <= n; ++i) write(ans2[i]), enter;
119     return 0;
120 }

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