数论算法总结

Posted 2021-01-01 wxjor

数论算法总结

费马小定理

(a^{p-1} equiv 1 pmod{p}space ((a,p)=1,isprime(p)))

• 证明：Link
  这里给出通用形式：考虑任意正整数(amod pspace ((a,p)=1))的剩余系，有(1,2,3,ldots ,p-1)。
  那么我们再取任意正整数(a'((a',p)=1))，将这个剩余系乘上(a')再(mod p)后，剩余系还是(1,2,ldots,p-1)的一个排列。
  将这些数字连乘得到：(a'^{p-1} imes (p-1)! equiv (p-1)! mod p)，两边同除((p-1)!)得到：(a'^{p-1} imes 1 equiv 1 mod p),将(a')替换为(a)即可。
  求逆元就是(a^{p-2} imes a equiv 1 pmod{p})。
  注意一切的推导都是在上面的式子条件下的。

欧拉定理

(a^{phi(n)}equiv 1 pmod{n} ((a,n)=1))

• 容易发现，前面的费马小定理是欧拉定理的儿子定理。
  主要是来补充一下为什么(a imes x_i mod n ((a,n)=1,x_ileq n))有(phi(n))种结果。
  假设(m_i=a imes x_i)，那么假设存在(m_iequiv m_j pmod{n} (i ot =j))，那么就有：(a(x_j-x_i)= kn)，但是由于((a,n)=1)，(x_j-x_i<n)，所以无论如何都不可能有解。 剩下的证明和上面一样。

拓展欧拉定理

(a^bequiv egin{cases} a^{b\\%phi(p)}~~~~~~~~~~~gcd(a,p)=1\\ a^b~~~~~~~~~~~~~~~~~~gcd(a,p) eq1,b<phi(p)\\ a^{b\\%phi(p)+phi(p)}~~~~gcd(a,p) eq1,bgeqphi(p) end{cases}~~~~~~~(mod~p))

证明：Link

BSGS

给定 (a,b,p)，求最小的非负整数(x)令(x)满足(a^x equiv b pmod{p})。

首先有费马小定理可知：(a^{kmod (p-1)}equiv a^k pmod{p})，所以说(x< p-1)。
那么我们令(m=lceil sqrt{p} ceil) ，(x=i imes m -j)，那么有：[a^{i imes m-j}equiv b pmod{p}]
[a^{i imes m}equiv b imes a^jpmod{p}]
那么暴力在(0 o m)枚举(j)，存入Hash表，然后在(1 o m)枚举i查询。