Softmax回归

Posted 2020-12-31 wujiazhong

在本节中，我们介绍Softmax回归模型，该模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广，在多分类问题中，类标签  可以取两个以上的值。 Softmax回归模型对于诸如MNIST手写数字分类等问题是很有用的，该问题的目的是辨识10个不同的单个数字。Softmax回归是有监督的，不过后面也会介绍它与深度学习/无监督学习方法的结合。（译者注： MNIST 是一个手写数字识别库，由NYU 的Yann LeCun 等人维护。http://yann.lecun.com/exdb/mnist/ ）

回想一下在 logistic 回归中，我们的训练集由  个已标记的样本构成： ，其中输入特征。（我们对符号的约定如下：特征向量  的维度为 ，其中  对应截距项 。） 由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 。假设函数(hypothesis function) 如下：

我们将训练模型参数 ，使其能够最小化代价函数 ：

在 softmax回归中，我们解决的是多分类问题（相对于 logistic 回归解决的二分类问题），类标  可以取  个不同的值（而不是 2 个）。因此，对于训练集 ，我们有 。（注意此处的类别下标从 1 开始，而不是 0）。例如，在 MNIST 数字识别任务中，我们有  个不同的类别。

对于给定的测试输入 ，我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值 。也就是说，我们想估计  的每一种分类结果出现的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个  维的向量（向量元素的和为1）来表示这  个估计的概率值。 具体地说，我们的假设函数  形式如下：

其中  是模型的参数。请注意 这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。

为了方便起见，我们同样使用符号  来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将  用一个  的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将  按行罗列起来得到的，如下所示：

 

代价函数

现在我们来介绍 softmax 回归算法的代价函数。在下面的公式中， 是示性函数，其取值规则为：

 值为真的表达式 

，  值为假的表达式 。举例来说，表达式  的值为1 ，的值为 0。我们的代价函数为：

值得注意的是，上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为：

可以看到，Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似，只是在Softmax损失函数中对类标记的  个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将  分类为类别  的概率为：

.

对于  的最小化问题，目前还没有闭式解法。因此，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。经过求导，我们得到梯度公式如下：

让我们来回顾一下符号 "" 的含义。 本身是一个向量，它的第  个元素  是 对 的第  个分量的偏导数。

有了上面的偏导数公式以后，我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化 。 例如，在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: (）。

当实现 softmax 回归算法时， 我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说，就是和权重衰减(weight decay)一起使用。我们接下来介绍使用它的动机和细节。

 

Softmax回归模型参数化的特点

Softmax 回归有一个不寻常的特点：它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点，假设我们从参数向量  中减去了向量 ，这时，每一个  都变成了 ()。此时假设函数变成了以下的式子：

换句话说，从  中减去  完全不影响假设函数的预测结果！这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说， Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函数 。

进一步而言，如果参数  是代价函数  的极小值点，那么  同样也是它的极小值点，其中 可以为任意向量。因此使  最小化的解不是唯一的。（有趣的是，由于  仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题）

注意，当  时，我们总是可以将 替换为（即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量  （或者其他  中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化全部的  个参数  （其中 ），我们可以令 ，只优化剩余的  个参数，这样算法依然能够正常工作。

在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，往往保留所有参数 ，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

 

权重衰减

我们通过添加一个权重衰减项  来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在我们的代价函数变为：

有了这个权重衰减项以后 ()，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。 此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为是凸函数，梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。

为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数  的导数，如下：

通过最小化 ，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。

 

Softmax回归与Logistic 回归的关系

当类别数  时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当  时，softmax 回归的假设函数为：

利用softmax回归参数冗余的特点，我们令 ，并且从两个参数向量中都减去向量 ，得到:

因此，用 来表示，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 ，另一个类别概率的为 ，这与 logistic回归是一致的。

 

Softmax 回归 vs. k 个二元分类器

如果你在开发一个音乐分类的应用，需要对k种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢？

这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他类”，并将类别数 k 设为5。）

如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声 。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品 ，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。

现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？

在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。

 

Tensorflow代码实现

# Licensed under the Apache License, Version 2.0 (the "License");
# you may not use this file except in compliance with the License.
# You may obtain a copy of the License at
#
#     http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0
#
# Unless required by applicable law or agreed to in writing, software
# distributed under the License is distributed on an "AS IS" BASIS,
# WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND, either express or implied.
# See the License for the specific language governing permissions and
# limitations under the License.
# ==============================================================================

"""A deep MNIST classifier using softmax regression.
See extensive documentation at
https://www.tensorflow.org/get_started/mnist/pros
"""

from __future__ import absolute_import
from __future__ import division
from __future__ import print_function

import tensorflow as tf

# Import MINST data
from tensorflow.examples.tutorials.mnist import input_data
mnist = input_data.read_data_sets("/tmp/data/", one_hot=True)

# Parameters
learning_rate = 0.1
training_epochs = 1000
batch_size = 100
display_step = 100

# tf Graph Input
x = tf.placeholder(tf.float32, [None, 784]) # mnist data image of shape 28*28=784
y = tf.placeholder(tf.float32, [None, 10]) # 0-9 digits recognition => 10 classes

# Set model weights
theta = tf.Variable(tf.zeros([784, 10]))
bias = tf.Variable(tf.zeros([10]))

# Construct model
pred = tf.nn.softmax(tf.matmul(x, theta) + bias) # Softmax

# Minimize error using cross entropy
cost = tf.reduce_mean(-tf.reduce_sum(y*tf.log(pred), reduction_indices=1))
# Gradient Descent
optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer(learning_rate).minimize(cost)

# Start training
with tf.Session() as sess:
    sess.run(tf.global_variables_initializer())

    # Training cycle
    for epoch in range(training_epochs):
        avg_cost = 0.
        total_batch = int(mnist.train.num_examples/batch_size)
        # Loop over all batches
        for i in range(total_batch):
            batch_xs, batch_ys = mnist.train.next_batch(batch_size)
            # Fit training using batch data
            opt, c = sess.run([optimizer, cost], feed_dict={x: batch_xs, y: batch_ys})
            # Compute average loss
            avg_cost += c / total_batch
        # Display logs per epoch step
        if (epoch+1) % display_step == 0:
            print("Epoch:", ‘%04d‘ % (epoch+1), "cost=", "{:.9f}".format(avg_cost))

    print("Optimization Finished!")

    # Test model
    correct_prediction = tf.equal(tf.argmax(pred, 1), tf.argmax(y, 1))
    # Calculate accuracy for 10000 examples
    accuracy = tf.reduce_mean(tf.cast(correct_prediction, tf.float32))
    print("Accuracy:", accuracy.eval({x: mnist.test.images[:10000], y: mnist.test.labels[:10000]}))

 

输出：

Epoch: 0100 cost= 0.243633468
Epoch: 0200 cost= 0.234686727
Epoch: 0300 cost= 0.230288342
Epoch: 0400 cost= 0.227081922
Epoch: 0500 cost= 0.224888553
Epoch: 0600 cost= 0.223316627
Epoch: 0700 cost= 0.221851313
Epoch: 0800 cost= 0.220888730
Epoch: 0900 cost= 0.219871770
Epoch: 1000 cost= 0.219167084
Optimization Finished!
Accuracy: 0.9253

 

准确率：92.53%