寻找“最好”——函数和泛函的拉格朗日乘数法

Posted 2020-12-31 bigmonkey

拉格朗日乘数法

　　大多数的优化问题都会加入特定的约束，而不仅仅是指定起点和终点，此时需要更好的办法去解决优化问题，拉格朗日乘数法正是一种求约束条件下极值的方法。

　　简单地说，拉格朗日乘数法(又称为拉格朗日乘数法)是用来最小化或最大化多元函数的。如果有一个方程f(x,y,z)，在这个方程里的变量之间不是独立的，也就是说这些变量之间是有联系的，这个联系可能是某个方程g(x,y,z) = C；也就是g(x,y,z) = C定义了x,y,z之间的关系，这个关系对变量做出了一定的的限制，我们需要在这个限制下来最小化或最大化f(x,y,z)。

拉格朗日乘数法的解释

　　假设(x,y)表示经纬度，f(x, y)是江浙两省所有大山的海拔高度；g(x, y) = C是约束条件，将范围缩小到江浙边界。现在需要找出找出在跨越江浙两省的大山中，处于江浙边界的最高点，用数学符号表示：

 

　　 s.t.是subject to 的缩写，意思是使maxf满足于s.t.中规定的条件。由于约束条件是等式，所以这种优化也称为等式约束优化。我们以位于两省边界附近的大山为例，画出它的等高线和两省的分界线：

　　如果f(x,y)中有满足g(x,y) = C的点，那么一定处于二者相切处：

 

　　切点就是极值，该极值的判定条件是，红绿两条等高线的梯度方向相同。这里切点是必要条件，如果有极值，极值点一定在切点处，但切点未必是极值点。这类似于普通条件下的极值判定，导数为0的点也可能是鞍点。

求解过程

　　根据上一节的思路，可以将最初的问题转换为方程组：

 

　　其中λ就是拉格朗日乘子，这就将极值问题转换成普通的方程组求解问题。更多拉格朗日乘数法，可参考《多变量微积分笔记6——拉格朗日乘数法》。

盒子的最小表面积

　　固定容积的无顶盖的盒子，盒子底部是正方形，使其表面积最小是多少？

　　如上图所示，设盒子的底边x，高为y，则体积V = x²y，表面积S = x² + 4xy。该问题可以使用单变量的极值求解法处理（可参考《单变量微积分笔记8——最值问题和相关变率》），但是有些复杂，现在用拉格朗日乘数法直接求解：

 

　　根据拉格朗日乘数法：

 

　　当x = 2y时，便面积最小。

多个约束条件

　　上面的例子仅有一个约束条件，如果碰到多约束条件的时候如何处理？

一般过程

　　设目标函数为f(x,y,z)，约束条件为g_k(x,y,z)，如果寻找在约束下f(x)的最小值：

　　如果用向量表示，还可以写成：

　　然后对F中的所有未知量（x和λ）求偏导，令其等于0：

 

　　这将形成一个方程组，通过解方程组求得所有未知量。

示例

　　5个方程，5个未知数，可以求得方程组的解。

泛函拉格朗日乘数法

一般形式

　　拉格朗日乘数法也可以在泛函中使用，它的一般形式是：

　　这里F和G都是简单泛函，C是一个常数。因为C是常数，所以求A的极值等同于求A – λC的极值，这就将问题和约束条件联合到一起，构成新的泛函极值问题：

周长固定的图形中，面积最大的是圆

　　长度固定的绳子围成的图形中，面积最大的是什么图形？

　　令曲线方程是y = y(x)，线段长度是C，问题用数学描述就是：

 

　　使用拉格朗日乘数法，求A的极值相当于求A-λC的极值：

 

　　设置泛函L：

 

　　现在可以使用欧拉-拉格朗日方程：

 

　　这正是圆的公式，所以说长度固定的绳子围成的图形中，面积最大的是圆。

 

 

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 　　作者：我是8位的

　　出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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