堆与堆排序

Posted 2020-12-31 losophy

堆排序与快速排序，归并排序一样都是时间复杂度为O(N*logN)的几种常见排序方法。

堆排序是就地排序，辅助空间为O(1）。

它是不稳定的排序方法。（排序的稳定性是指如果在排序的序列中，存在前后相同的两个元素的话，排序前 和排序后他们的相对位置不发生变化）

 

先说说什么是堆，堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。满足下列性质：

1.堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

2.堆总是一棵完全树（完全树就是叶结点仅在层次最大的两层出现的树）。

 

将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。常见的堆有二叉堆、斐波那契堆等。由于其它几种堆（二项式堆，斐波纳契堆等）用的较少，一般将二叉堆就简称为堆。

 

堆的存储

一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

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堆的操作

建立堆：

一般情况下，树并不满足堆的条件，通过重新排列元素，可以建立一棵”堆化“的树。如初始表：55 12 16，堆化后为：12 55 16。

 

堆的插入：

每次插入都是将新数据放在数组最后。然后树被更新以恢复堆次序。如初始表：12 22 7 ，插入新数据后，数组为12 22 7 16，然后重排树的顺序，数组为12 16 7 22。

可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列。

 

 

//  新加入i结点  其父结点为(i - 1) / 2
void MinHeapFixup(int a[], int i)
{
    int j, temp;
	
	temp = a[i];
	j = (i - 1) / 2;      //父结点
	while (j >= 0 && i != 0)
	{
		if (a[j] <= temp)
			break;
		
		a[i] = a[j];     //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点
		i = j;
		j = (i - 1) / 2;
	}
	a[i] = temp;
}

//在最小堆中加入新的数据nNum
void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)
{
<span style="white-space:pre">	</span>a[n] = nNum;
<span style="white-space:pre">	</span>MinHeapFixup(a, n);
}

堆的删除

 

 

 

堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。

如初始表：12 16 50 22，删除第0个数据后，数组为22 16 50 _，然后重排树的顺序，数组为16 22 50。

 

//  从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2
void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)
{
    int j, temp;

	temp = a[i];
	j = 2 * i + 1;
	while (j < n)
	{
		if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的
			j++;

		if (a[j] >= temp)
			break;

		a[i] = a[j];     //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点
		i = j;
		j = 2 * i + 1;
	}
	a[i] = temp;
}
//在最小堆中删除数
void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)
{
	Swap(a[0], a[n - 1]);
	MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);
}

 

堆化数组

 

关于怎样把一个数据进行堆化。可能很多人会想，要一个一个的从数组中取出数据来建立堆？不用。

比如说：int A[0] = {8,11,16,29,49,19,59,64,3,18};

如果把这个数组看成是一棵树，那么它的叶子结点19,59,64,3,18都分别是一个合法的堆。只要把49开始向下调整就可以了。然后再取29，16，11，9结点分别作一次向下调整操作就可以了。

 

//建立最小堆
void MakeMinHeap(int a[], int n)
{
	for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
		MinHeapFixdown(a, i, n);
}

就这样，堆的操作就全部完成了。

 

 

说了这么多，终于到主角登场了。

根据堆的性质，堆建好之后。堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。

由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将A[0]与A[n - 1]交换，再对A[0…n-2]重新恢复堆。第二次将A[0]与A[n – 2]交换，再对A[0…n - 3]重新恢复堆，重复这样的操作直到A[0]与A[1]交换。由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。

 

void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n)
{
	for (int i = n - 1; i >= 1; i--)
	{
		Swap(a[i], a[0]);
		MinHeapFixdown(a, 0, i);
	}
}

注意使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆。

 

应用：

堆是一种经典的数据结构，向堆中插入、删除元素时间复杂度都是 O(lgN)， N 为堆中元素的个数，而获取最小 key 值（小根堆）的复杂度为 O(1)。

libevent中的定时事件管理就是用一个以时间作为 key 的小根堆结构做的，放弃了原来的红黑树，大概就是堆比红黑树简单吧。

 

 

参考：

http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/6709644

 

堆与堆排序