深入理解非递归快速幂

Posted 2020-12-31 santiego

深入理解非递归快速幂

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网络上很多博客都只有板子，并没有严谨详细探讨其思想。本篇文章将从二进制角度来深入理解非递归快速幂

原理

先举个栗子，求 (3^{15}) 。对于 (3^{15}) 我们可以通过数学幂的运算法则得到下面的式子

[ 3^{17}=3^{2^{4}+2^{0}}=3^{2^{4}}*3^{2^{0}} ]

[ 3^{2^{i}}=3^{2^{i-1}}*3^{2^{i-1}} ]
我们会发现将其指数化为以2为底数的数之和后，计算 (3^{15}) 时，仅需算出 (3^{2^{4}}) 和 (3^{2^{0}}) 便可求得 (3^{15}) 的值，相比于遍历指数次，每次乘以底数的传统做法，效率更高。而我们又会发现 (3^{2^{i}}) 是由 (3^{2^{i-1}}) 转换过来的，所以，我们只需求出之和构成指数的2为底数的各个数（即问是哪些以2为底数的数累加起来为指数的），便可求解。
[ 17=2^{4}+2^{0} ]
而后，我们再通过观察发现，上面这个式子中的4和0其实就是17的二进制上不为0的二进制位

（废话，二进制本身不就是将任意十进制数拆解为以2为底数的数之和的过程吗）

找出之和构成指数的以2为底数的各个数后，我们只需要从 (3^{2^{0}}) 开始，每次平方本身，推出第i位的 (3^{2^{i}}) ，并根据上面的分解规则（规律），逐位判断二进制从而解决最后的问题从而最终求出快读幂。

总而言之，我觉得快速幂算法其实是利用二进制将数分解为很多个递归平方（词穷了），每次都以平方级增长，从而实现快速求幂。

实现

先上个非递归快速幂板子

LL pow_mod(LL a, LL b, LL mo){
    LL ret = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ret = (ret * a) % mo;
        a = (a * a) % mo;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

首先需要明白的是，b&1在二进制中可以理解为取b的二进制最后一位，如果b&1返回1（即true）则末尾为1，反之为0（所以根据这个性质也可以很快地判断一个数是否为奇数），所以在这里只有当b的二进制最后一位为1时，才执行其后语句ret = (ret * a) % mo;；另外b >>= 1是表示将b右移1位，即将b的二进制整体向右移动一格。

既然理解了原理以及实现要点，希望读者尽可能自己琢磨一下这个程序，可以模拟感受一下，因为那样来得更快

在这个程序中，每一次，无论当前二进制最后一位是否为1，a都要平方一下（因为 (3^{2^{i}}=3^{2^{i-1}}*3^{2^{i-1}}) ，前一个值会影响后一个值，所以必须维护），然后将当前二进制右移一位，去掉已经处理过的二进制数位以处理下一位，但当当前二进制最后一位为1时，根据之前的规律，需将a加入到答案中，最终当所有二进制数位都被处理掉后，b自然变为0，while循环结束。

以上。

参考

• 快速幂非递归实现（即求x的n次方）