『8.21 模拟赛』Victory

Posted 2020-12-31 fang-hao

题目描述

迟到大王rsw喜欢V这个字母，因为V代表着victory，当一个数字，从左向右数的时候，没有出现过先递减，再递增的情况，就被称作Victory数。

也就是说，这个数字可以是递增的，也可以是递减的，也可以是先递减再递增的，这个过程中可以出现相邻数字相等的情况，但是，就是不能出现过先递减再递增的情况。

问题是：给定n，问：1~n之间有多少个victory数。

解题思路

我们应该一眼就能看出这是一道数位dp题，一开始用3维dp写，状态不够写挂了。。。后来改用4维就A了。

我们用dp[ i ][ j ][ k ][ l ] 来表示当前选到了第i位，当前选择的数是j，(k=0)表示当前的状态是递增的，(k=1)表示当前的状态是递减的，(l=0)表示当前没有遇到上界，(l=1)表示当前遇到了上界。但是在转移的时候有很多的细节，所以我们要慢慢分析：

比如，上升和下降并不是严格的，所以我们一定要注意一下，比如还没有出现严格上升的时候的k一直等于1，也就是递减的，遇到了一次严格递增的我们就把k严格设置成0，这样我们就可以防止重复情况的计算。

我们dfs的时候一定要注意前导0对答案的影响：比如098是一个合法的三位数，但是我们很容易漏掉他，一开始在这挂了好久，我们从每一位开始枚举，注意枚举最高位的时候l的取值。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const LL MOD=1000000007;
char n[150];
int len,a[150];
LL dp[102][11][2][2];
inline LL dfs(int wei,int num,bool ud,bool flag){
    if(wei==1)return 1;
    if(dp[wei][num][ud][flag])return dp[wei][num][ud][flag];
    if(ud==0){
        if(flag){
            for(register int i=num;i<=a[wei-1];i++){
                if(i==a[wei-1]){
                    dp[wei][num][ud][flag]+=dfs(wei-1,i,ud,1);
                    dp[wei][num][ud][flag]%=MOD;
                }
                else {
                    dp[wei][num][ud][flag]+=dfs(wei-1,i,ud,0);
                    dp[wei][num][ud][flag]%=MOD;
                }
            }
        }
        else {
            for(register int i=num;i<=9;i++){
                dp[wei][num][ud][flag]+=dfs(wei-1,i,ud,0);
                dp[wei][num][ud][flag]%=MOD;
            }
        }
        return dp[wei][num][ud][flag];
    }
    else {
        if(flag){
            for(register int i=0;i<=min(num,a[wei-1]);i++){
                if(i==a[wei-1]){
                    dp[wei][num][ud][flag]+=dfs(wei-1,i,ud,1);
                    dp[wei][num][ud][flag]%=MOD;
                }
                else {
                    dp[wei][num][ud][flag]+=dfs(wei-1,i,ud,0);
                    dp[wei][num][ud][flag]%=MOD;
                }
            }
            for(register int i=num+1;i<=a[wei-1];i++){
                if(i==a[wei-1]){
                    dp[wei][num][ud][flag]+=dfs(wei-1,i,0,1);
                    dp[wei][num][ud][flag]%=MOD;
                }
                else {
                    dp[wei][num][ud][flag]+=dfs(wei-1,i,0,0);
                    dp[wei][num][ud][flag]%=MOD;
                }
            }
        }
        else {
            for(register int i=0;i<=num;i++){
                dp[wei][num][ud][flag]+=dfs(wei-1,i,1,0);
                dp[wei][num][ud][flag]%=MOD;
            }
            for(register int i=num+1;i<=9;i++){
                dp[wei][num][ud][flag]+=dfs(wei-1,i,0,0);
                dp[wei][num][ud][flag]%=MOD;
            }
        }
        return dp[wei][num][ud][flag];
    }
}
int main(){
    scanf("%s",n+1);
    len=strlen(n+1);
    for(register int i=1;i<=len;i++){
        a[len+1-i]=(int)(n[i]-'0');
    }
    LL ans=0;
    for(register int i=1;i<=a[len];i++){
        if(i!=a[len])ans+=dfs(len,i,1,0);
        else ans+=dfs(len,i,1,1);
        ans%=MOD;
    }
    for(register int i=len-1;i>=1;i--){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(register int j=1;j<=9;j++){
            ans+=dfs(i,j,1,0);
            ans%=MOD;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
}