数据结构查找---有序表查找（三种查找方式：折半，插值，斐波拉契查找）

Posted 2020-12-30 ssyfj

前提

有序表查找要求我们的数据是有序的，是排序好的，我们只需要进行查找即可

我们下面将介绍折半查找（二分查找），插值查找，斐波那契查找

一：折半查找

（一）定义

二分查找也称折半查找（Binary Search），它是一种效率较高的查找方法。但是，折半查找要求线性表必须采用顺序存储结构，而且表中元素按关键字有序排列。

（二）查找过程

首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；
否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。
重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

（三）代码实现

int Binary_Search(int *a, int n, int key)
{
    int low, high, mid;
    low = 0;
    high = n - 1;
    while (low<=high)
    {
        mid = (low + high) / 2;
        if (a[mid] < key)
            low = mid + 1;
        else if (a[mid]>key)
            high = mid - 1;
        else
            return mid;
    }
    return -1;
}

int main()
{
    int a[10] = { 1, 6, 12, 21, 30, 31, 32, 42, 49, 52 };
    int index;
    index=Binary_Search(a, 10, 49);
    if (index != -1)
        printf("find key in %d
", index);
    else
        printf("not find key
");
    system("pause");
    return 0;
}

（四）性能分析

其时间复杂度是O(logn),不过由于折半查找的前提是需要有序表顺序存储，对于静态查找表，一次排序后不再变化，这样的算法是比较好的。但是对于需要频繁插入或删除操作的数据集来说，维护有序的排序会带来不小的工作量，不建议使用。

二：插值查找（按比例查找法）

（一）算法分析：

对于前面的折半查找，为啥一定要折一般，而不是1/4或者其他？
比如：我们查字典Apple，我们会先从中间查找，还是有一定目的的向前找。
或者在0-1000个数之间有200个元素从小到大均匀分布排序，我们若是需要查找到15，我们会去中间查找500，还是直接去前面开始查找。
以上都说明我们上面的折半查找可以再进行改进

首先我们对折半公式进行改写：

 

折半查找这种查找方式，不是自适应的（也就是说是傻瓜式的），其前面的查找系数（比例参数）始终是1/2

通过类比，我们可以将查找的点改进为如下：

也就是将上述的比例参数1/2改进为自适应的，根据关键字在整个有序表中所处的位置，让mid值的变化更靠近关键字key，这样也就间接地减少了比较次数。

（二）基本思想：

基于二分查找算法，将查找点的选择改进为自适应选择，可以提高查找效率。当然，插值查找也属于有序查找。

（三）代码实现：

int Insert_Search(int *a, int n, int key)
{
    int low, high, mid;
    low = 0;
    high = n - 1;
    while (low <= high)
    {
        mid = low + (key - a[low]) / (a[high] - a[low])*(high - low);
        if (a[mid] < key)
            low = mid + 1;
        else if (a[mid]>key)
            high = mid - 1;
        else
            return mid;
    }
    return -1;
}

实现方法和折半一样，只是修改了mid

（四）性能分析：

而插值查找则比较灵活,并不是简单的从中间进行的,它是根据我们需要查询的值的渐进进行搜索的.

插值查找的不同点在于每一次并不是从中间切分,而是根据离所求值的距离进行搜索的.

对于表长较大，而关键字分布又比较均匀的查找表来说，插值查找算法的平均性能比折半查找要好的多。反之，数组中如果分布非常不均匀，那么插值查找未必是很合适的选择。

时间复杂度：平均情况O（loglog(n)），最坏O（log(n)）

三：斐波那契查找（仅使用加法减法实现二分查找）

除了插值查找之外，我们再介绍一种有序查找，可以对折半进行优化，那就是斐波那契查找，利用了黄金分割原理来实现的

斐波那契查找与折半查找很相似，他是根据斐波那契序列的特点对有序表进行分割的。他要求开始表中记录的个数为某个斐波那契数小1，即n=F(k)-1;

（一）斐波那契数列

越向后，每两个数之间相除越接近黄金比例

（二）斐波拉契查找实现

1.首先我们要创建一个斐波拉契数列

2.获取我们的数组大小n（我们不考虑0下标，因为我们的斐波那契数列从0开始，无法构成黄金比例），在斐波拉契数列中的位置

例如上面的查找数组大小为n=10,F[6]<n<F[7],所以得出其位置为k=7

3.因为我们的k=7,F[7]=13,而a数组最大为10，我们需要对其按照F[7]=13补齐数组，使其长度为F[7]-1=12,将a[11]=a[10],a[12]=a[10]

4.开始正式查找，按照上图mid=low+F[k-1]-1;

 

（三）思考：n=F(k)-1， 表中记录的个数为某个斐波那契数小1。这是为什么呢？

 推文：斐波那契查找原理详解与实现

是为了格式上的统一，以方便递归或者循环程序的编写。
表中的数据是F(k)-1个，使用mid值进行分割又用掉一个，那么剩下F(k)-2个。
正好分给两个子序列，每个子序列的个数分别是F(k-1)-1与F(k-2)-1个，格式上与之前是统一的。
不然的话，每个子序列的元素个数有可能是F(k-1)，F(k-1)-1，F(k-2)，F(k-2)-1个，写程序会非常麻烦。

（四）算法实现

void Fibonacci(int **Fb, int n)
{
    int f1, f2,ft;
    int count=3;
    f1 = 1; f2 = 1;

    while (f2<n)
    {
        ft = f1 + f2;
        f1 = f2;
        f2 = ft;
        count++;
    }
    (*Fb) = (int *)malloc(count*sizeof(int));
    (*Fb)[0] = 0;
    (*Fb)[1] = 1;
    for (f1 = 2; f1 <= count - 1; f1++)
        (*Fb)[f1] = (*Fb)[f1 - 1] + (*Fb)[f1 - 2];
}

创建斐波那契数列

int Fibonacci_Search(int *a, int n, int key)
{
    int low, high, mid, i, j,k;
    int *Fb,*temp;
    //根据实际情况来初始化
    low = 1;
    high = n;

    Fibonacci(&Fb, n);
    k = 0;

    while (n > Fb[k])    //计算n位于斐波那契数列位置
        k++;

    temp = (int *)malloc((Fb[k] - 1 + 1)*sizeof(int));//后面加1是因为还有个下标0空间
    memcpy(temp, a, n*sizeof(n + 1));

    for (i = n + 1; i <= Fb[k] - 1; i++)    //我们要查找的是数组1到F[k]-1，而实际数组长要包括一个下标0空间
        temp[i] = a[n];

    while (low<=high)
    {
        mid = low + Fb[k - 1] - 1;
        if (key == temp[mid])
        {
            //分情况，是前半段，正常输出，后半段判断是不是在我们补充的数组里面，这时我们返回原数组最后一个下标
            if (mid <= n)
                return mid;
            else
                return n;
        }
        else if (key>temp[mid])
        {
            low = mid + 1;
            k = k - 2;
        }
        else
        {
            high = mid - 1;
            k = k - 1;
        }
    }
    return 0;    //0是未找到，0下标使无意义的
}

int main()
{
    int a[11] = { 0,1,16,24,35,47,59,62,73,88,99};
    int index;
    index = Fibonacci_Search(a, 10, 73);
    if (index != -1)
        printf("find key in %d
", index);
    else
        printf("not find key
");
    system("pause");
    return 0;
}

 （五）性能分析

其时间复杂度也是O(logn),就平均性能来说，斐波那契查找由于折半查找。但是若是最坏情况，比如key=1，始终处于左侧长半区查找，则效率低于折半查找。

四：总结