Uva1635 二项式递推+质因子分解+整数因子分解

Posted 2020-12-30 romalzhih

题意：

给定n个数a1,a2····an，依次求出相邻两个数值和，将得到一个新数列，重复上述操作，最后结果将变为一个数，问这个数除以m的余数与那些数无关？

例如n=3,m=2时，第一次得到a1+a2,a2+a3，再求和得到a1+2*a2+a3，它除以2的余数和a2无关。1=<n<=10^5, 2=<m<=10^9

解法：

将所有的加法过程列出来可以得到，n个数合并成1个数需要n-1步，且最后的表达式写成初始项相加的形式 每一项的系数恰好就是一个二项式系数。

问除以m的余数与那些数无关，其实就是问这些因子中哪些是m的倍数。我们还是用分解m质因子的方法，将m的质因子全部先分解出来，然后遍历每个二项式系数，看他们能否整除这些质因子（如果这个二项式系数改写成质因子的幂次形式，的这个幂小于m中的这个幂，就不行） 。

除此之外还要学习的就是怎么计算这个幂次，尤其是被除数为分数的时候，分子的幂次的贡献为正，分母为负

 1 #include<cstdio>
 2 #include<vector>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 int vis[100000 + 5];
 6 
 7 int work_quality_factor(int n, int quality_fac[], int frequency[])
 8 {//n是待分解的数,quality_fac[]会存放它包含的质因子,而frequency[]存放对应次数
 9  //如q_f[k]=7,fre[k]=2就表示质因数分解后里面包含有7,且次数是2
10  //函数返回有几种质因子,比如分解了25就返回1,分解28返回2
11     int res, temp, i;
12     res = 0;
13     temp = n;
14     for (i = 2; i*i <= temp; i++)
15         if (temp%i == 0)
16         {
17             quality_fac[res] = i;
18             frequency[res] = 0;
19             while (temp%i == 0)
20             {
21                 temp = temp / i;
22                 frequency[res]++;
23             }
24             res++;
25         }
26     if (temp > 1)
27     {
28         quality_fac[res] = temp;
29         frequency[res++] = 1;
30     }
31     return res;
32 }
33 
34 int main() {
35     int n, m;
36     while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
37         n--;
38         memset(vis, 0, sizeof(vis));
39         int fac[100], frq[100];
40         int primenum = work_quality_factor(m, fac, frq);
41 
42         for (int i = 0; i < primenum; i++) {
43             int min_e = frq[i], x, e = 0;
44             // c(n,k)=c(n,k-1)*(n-k+1)/k
45             for (int k = 1; k < n; k++) {
46                 //分成上下两部分除，上面的幂次的贡献为正，下面为负
47                 x = n - k + 1;
48                 while (x%fac[i]==0) { x /= fac[i]; e++; }
49                 x = k;
50                 while (x%fac[i]==0) { x /= fac[i]; e--; }
51                 if (e < min_e)vis[k] = 1;
52             }
53         }
54         
55         vector<int>ans;
56         for (int i = 1; i < n; i++)
57             if (!vis[i])ans.push_back(i + 1);
58         printf("%d
", ans.size());
59         if (!ans.empty()) {
60             printf("%d", ans[0]);
61             for (int i = 1; i < ans.size(); i++)
62                 printf(" %d", ans[i]);
63         }
64         printf("
");
65     }
66     return 0;
67 }