二分图

Posted 2020-12-30 mini-coconut

所谓的二分图，就是指图中的所有顶点可以分为两个集合A和B，并且图中的每条边的两个顶点都是一个在A，一个在B，则该图是一个二分图。

下面我们来解释几个关于二分图的一些相关概念。

（1）最大匹配

在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题,最大匹配的边数称为最大匹配数.如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。

（2）最优匹配

最优匹配又称为带权最大匹配，是指在带有权值边的二分图中，求一个匹配使得匹配边上的权值和最大。一般A和B集合顶点个数相同，最优匹配也是一个完备匹配，即每个顶点都被匹配。如果个数不相等，可以通过补点加0边实现转化。一般使用KM算法解决该问题。

（3）最小覆盖

二分图的最小覆盖分为最小顶点覆盖和最小路径覆盖：

①最小顶点覆盖是指最少的顶点数使得二分图G中的每条边都至少与其中一个点相关联，二分图的最小顶点覆盖数=二分图的最大匹配数；

②最小路径覆盖也称为最小边覆盖，是指用尽量少的不相交简单路径覆盖二分图中的所有顶点。二分图的最小路径覆盖数=|V|-二分图的最大匹配数；

（4）最大独立集

 最大独立集是指寻找一个点集，使得其中任意两点在图中无对应边。对于一般图来说，最大独立集是一个NP完全问题，对于二分图来说最大独立集=|V|-二分图的最大匹配数。如下图中黑色点即为一个最大独立集：

我们可以看到二分图的一些性质。

（1）二分图中的所有回路的边数都是偶数。

（2）二分图的独立数等于顶点数减去最大匹配数

（3）DAG的最小路径覆盖，将每个点拆点后作最大匹配，结果为n-m，求具体路径的时候顺着匹配边走就可以，匹配边i→j‘,j→k‘,k→l‘....构成一条有向路径。

（4）最大匹配数=左边匹配点+右边未匹配点。因为在最大匹配集中的任意一条边，如果他的左边没标记，右边被标记了，那么我们就可找到一条新的增广路，所以每一条边都至少被一个点覆盖。

（5）最小边覆盖=图中点的个数-最大匹配数=最大独立集。

关于二分图求最大匹配（匈牙利算法）详见https://blog.csdn.net/thundermrbird/article/details/52231639