Splay Tree——动机和宏观策略

Posted 2020-12-30 hongshijie

之前我们谈论过AVL树，这是一种典型适度平衡的二叉搜索树，成立条件是保持平衡因子在[-1,1]的范围内，这个条件已经是针对理想平衡做出的一个妥协了，但依然显得过于苛刻，因为在很多时候我们需要频繁的做重平衡操作，能不能改进一下，让失衡先积累着，然后等到某个时机，一下子全部解决呢？严谨一点来说就是我们能否秉持一种更为宽松的准则，同时又从长远、整体的角度来看，依然不失某种意义上的平衡性呢？

 

根据写作套路，那肯定就是点题了。。。对！就是伸展树了，他的出现是因为有人注意到了在信息处理过程中的“局部性”，就是刚被访问过的数据，极有可能很快的被再次访问到，针对特性大做文章，就能切中肯綮了，这也是下面我们要分析的细节。

 

在二叉搜索树里也时常遇到，主要是两种情况：

• 每次刚刚访问过的某一个节点有可能很快的会再次被我们访问到
• 下次访问的节点即便不是刚访问过的那个节点，也不会离得太远

通过此前的学习我们已经知道，对于AVL树而 每一次查找所需的时间都是logn，因此任意的连续m次查找，所需要的累积时间就是mlogn，为了改进，就针对这个局部性来做一做文章吧：先来看一个例子，然后类比推理即可。链表里越靠近表头的节点的查找速度越快，遍历所走的步数少嘛，那么如果数据访问有局部性，我们就——访问一个元素后立即把他移动到最前端。

 

这样做的逻辑是：根据局部性，接下来将要访问的元素很可能就是刚访问的那个元素，而这个元素就在最前端，头部元素的访问是访问是唾手可得的，走一步就到了。从整个数据结构的生命周期而言，这样一个列表结构即便最初是完全随机分布的，在经过了足够长时间的使用之后，在某一段时间内被集中访问的元素都会集中到这个列表的前端去。我们已经知道这个区域（列表前段部分）的访问效率是相应更高的，那就能有更高的访问效率了。

 

现在回到二叉树，为了对比就让树横过来。

树的顶部元素访问效率更高，所以我们要参照列表，把经常要访问到的元素尽可能的移送到接近树根的位置，也就是要尽可能的降低他们的深度。

 

那我们就这么办：某个元素一经访问，就把它移到树根处。具体做法就是把被访问元素不断做旋转操作直到抵达树根，这样的策略被称为“逐层伸展”，是一种朴素的想法，但是不够好，因为在最坏情况下树退化为一条单链，我们来个极端的，每次恶意访问最深的节点，就会变成这样：

先注意一下特征：每层只挂了一个节点，这是弊端所在，后面还会提到。然后经过一轮询问，这个树就复原了。看一下整个过程（竖着看）

 

我们分析一下这一轮操作的代价：假设树的规模是n，访问第一个最深节点的成本是n，第二个节点是n-1，第三个是n-2，然后是n-3，n-4和最终的1。整个成本按算术级数增长，这就很恐怖了，总体时间O（N²），分摊到整个周期的n次操作，复杂度Ω(N)居高不下，和AVL树的logn相差甚远，这已经沦落到了线性序列的地步。另外还有一个弊端在于：我们需要为此考虑很多种特殊情况。所以这个策略无法让人满意。

 

我们还要另找方法——在初始访问路径上进行一些神奇的旋转，只用了O（1）的空间，而且保持O（logN）的时间复杂度。

 

具体而言就是：双层伸展，向上追溯两层，通过两次旋转把被访问节点上移至祖父的位置，而且！不是像之前一样自下而上伸展，而是自顶向下进行伸展。这可以说是SplayTree的点睛之笔。这是在1985年Tarjan大神的一篇论文《Self-adjusting binary search trees》里提出来的（和他有关的还有一个Tarjan算法，是关于图的连通性的神奇算法）。他们的相对位置无非四种：之字型两种，一字型两种。

 

 子孙异侧

先从这个情况说起，从难啃的骨头开始。有些书上会把这种情况称为“之字形”，以此为例：

“这特么不就是双旋转么，而且这也就是逐层伸展两次而已，没什么实质区别啊（摔）”，的确是这样，这个部分区别不大。但重点在于另外这条龙一只眼睛才是闪光之处。

 

子孙同侧

有些书上也称为“一字形”。我们先看一下逐层伸展的调整过程，然后和Tarjan的策略作一比较，就知道差距有多大了。

 

这是我们凡人想到的方法。下面是Tarjan的点睛之笔：

 

这里的重中之重是：需要首先越级，从祖父而不是父节点来开始旋转，具体来说就是，经过祖父节点的一次左-左旋转，节点p以及v都会上升一层。接下来对新的树根也就是p，再做一次左-左旋转，把v拉上来成为树根，Done。把这两种方法作一对比，emmm好像没什么大差别啊，是吧？的确这里面的神奇之处一时半会难以察觉，看起来反正都是提高了两层倍，

毕竟在局部拓扑结构上还是有微妙的差异，更重要的是——这种局部的微妙差异将导致全局的不同，而且那种不同将是根本性的、颠覆性的！Splay树在这个伸展方式的革命中失去的只是锁链，他们获得的将是整个世界。

 

现在来看看这个差异所带来的利好。如果用这种方式我们再来访问最深的节点，会有什么改进呢？ 

 

现在的改进在于每一层能挂更多的节点了，这就是有效控制树高的一个方法。之前说的逐层伸展最坏情况之所以“坏”是因为，尽管能调整到树根，但是在这个过程中树的高度会以算术级数的速度急剧膨胀，这是一种不计后果的方法，所以很坏。而Tarjan的方法优越性在于，在每次即使访问最深的节点时候，也能控制树高，渐进意义上是之前逐层伸展树高的一半，记得前面说的“会导致全局的不同”么，就是这里的树高缩减一半！这个特性太好了，节点越多，访问次数越多，这个控制的效果越明显，这也被称为SplayTree的折叠效果。那么总结一下双层伸展的核心优势——

 

通过这个例子可以看出：任何一个节点经过访问，再经双层调整后，这个节点所在的路径长度就会减半。甚至可以说——这种效果具有某种意义上的智能：既然在一棵BST中非常忌讳访问很深的节点（这会导致复杂度急剧上升），那这种折叠效果自然就会具有对坏节点的修复作用，我们就不必担心了。犹如含羞草一旦感受到威胁，就会通过迅速收缩，将自己的弱点隐藏起来。因此在采用Tarjan所建议的这种新的策略之后，刚才所举的那种最坏情况就不至持续的发生，可以证明的是单次操作的时间上界是O（logN）。这也就是说！我们现在不仅足以应对此前涉及的最坏情况，而且也不会有任何其他的最坏情况，这是一个再好不过的消息了，简直让人开心到爆炸啊！

 

为了控制篇幅，也考虑到注意力的问题，具体的实现放在下一篇文章，因为那将会涉及到很多指针调整，需要集中精力，看到这里想必注意力消耗的差不多了，再看下去就容易跑神，具体的实现步骤相比上面的清谈要更耗费心力，因为我们要和细节打交道了。