复解析蕴含不可延拓性

Posted 2020-12-30 xiongruimath

最近知道了一些关于解析的更多事实。

众所周知，完备域的流形上均可定义解析函数环，即局部可以展成幂级数的函数组成的环。最近我知道了如下『明明很重要，但是大家都不说』的事实：

• 若$f(z)$在$Omega$内可在$P$点展成幂级数，则$f(z)$在$Omega$内任何一点内也可以。（用的方法就是强行展开并交换顺序）
• 若$f(z)$在$P$点解析，$g(w)$在$f(P)$点解析，则$g(f(z))$在$P$点解析。（用的方法就是强行带入交换顺序）
• 若$f(z),g(z)$在$P$点解析，则$f(z)g(z)$亦然。（用的方法依旧是强行交换顺序）

以及在复平面上有如下结论，如果$f(z)$在$Omega$上是全纯的，则任意$Pin Omega$，$f(z)$在$P$点展成幂级数的收敛半径总是大于等于$P$到$Omega$补集的距离。证明如下

不妨假设$P=0$，设$P$到$Omega$补集的距离为$d$，根据Cauchy积分公式，在以$P$为圆心$d-epsilon$为半径的圆周$C$（当然$subseteq Omega$），再取被圆周围起来内部的点$z$，在$C$上积分有

$$f(z)=frac{1}{2pi i}int_C frac{f(zeta)}{zeta-z}mathrm{d} zeta=frac{1}{2pi i}int_C frac{f(zeta)}{zeta}frac{1}{1-frac{z}{zeta}}mathrm{d} z$$

因为$left|frac{z}{zeta} ight|<1$，故$frac{1}{1-frac{z}{zeta}}=1+frac{z}{zeta}+left(frac{z}{zeta} ight)^2+ldots$，这是内闭一致收敛的，所以可以和曲线积分交换顺序得到

$$f(z)=frac{1}{2pi i}int_C frac{f(zeta)}{zeta}left(1+frac{z}{zeta}+left(frac{z}{zeta} ight)^2+ldots ight)mathrm{d} z=sum_{n=0}^inftyleft(frac{1}{2pi i}int_C frac{f(zeta)}{zeta^{n+1}}mathrm{d} zeta ight)z^n$$

这样收敛半径必须大于等于$d-epsilon$，因为$epsilon$的任意性，这说明收敛半径大于等于$d$，这样就证明完毕了。

这样，作为推论，在收敛半径的圆周上一定有点延拓不出去。

值得一提的是，这件事对于实解析函数是不对的，例如$frac{1}{1+x^2}$，其在原点的收敛半径是$1$，但是定义域显然可以无限延展下去。究其原因就是因为复解析对了，$frac{1}{1+z^2}$在原点的收敛半径应该是$1$，而展成幂级数在实数和复数上没有不同，故收敛半径也相同。

不过上述证明显然过分依赖于围道积分，至少再一次说明了复解析能得到更多非同寻常的结论。或许可以猜想对于一般的代数闭的赋值域关于定义区域和收敛半径的关系依旧有这等关系，这样$frac{1}{1+z^2}$的例子就作废了。

最后，借此机会索性复习了一下数学分析中交换极限积分微分的定理如下

• 极限过程的交换(20180817).pdf