BJOI2006 狼抓兔子

Posted 2020-12-30 captain1

题目描述

 

这道题可以看出来是最小割的板子题，不过因为这道题的n，m都到了1000，所以总点数是10^6，直接跑最小割会超时。

于是我们要新引入一个概念：对偶图。

我们先说一下什么是平面图。平面图就是所有的边只在顶点处相交。

比如上面的图就是一个平面图。

对于每一个平面图，都有与之对应的对偶图。平面图中边与边之间围成的区域叫面，最外面一个区域也被视作一个面。对偶图就是把每个平面图中的面都视为一个点，对于面与面之间的边，就在面所对应的点之间建立一条双向边，边权与原来相同。如果面的两侧都是自己，那么就连一条自环的边就可以了。

这样我们就发现一条非常重要的性质，如果我们把原点和汇点连一条边，把上半部分视为超级源点，下半部分视为超级汇点，那么我们只要跑一遍对偶图上的最短路，其数值大小即等于原图最小割。直观的理解一下，每条对偶图上的边都可以看作是在原图上的一条杠，而如果想用这些杠把整个图隔断，（最小割）这些杠一定是可以连起来的。

（如果感到难懂可以看一下dalao的图解）：传送门

所以只要转化为对偶图以后，跑一遍dij就可以了。

回来看这道题，是非常明显的平面图。所以我们把它的对偶图建出来，直接跑最短路就可以了。

不过其实平面图挺难建的……而且要注意的是，转化为平面图之后点有可能会变多，数组不要开小，预处理的时候不要忘记处理。

看一下代码。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<set>
#include<utility>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar(‘
‘)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pr;
const int INF = 1e9;
const int M = 2000005;

int read()
{
    int ans = 0,op = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘)
    {
        if(ch == ‘-‘) op = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘)
    {
        ans *= 10;
        ans += ch - ‘0‘;
        ch = getchar();
    }
    return ans * op;
}
struct node
{
    int next,to,v,from;
} e[M<<3];
set <pr> q;
set <pr> :: iterator it;
int n,m,head[M<<1],maxflow = 0,d,dis[M<<1],ecnt,minn = INF;
int source,sink;
void add(int x,int y,int z)
{
    e[++ecnt].to = y;
    e[ecnt].v = z;
    e[ecnt].from = x;
    e[ecnt].next = head[x];
    head[x] = ecnt;
}
void build()
{
    rep(i,1,n)
    {
        rep(j,1,m-1)
        {
            d = read();
            if(i == 1) add(2*j,sink,d),add(sink,2*j,d);
            else if(i == n) add(j*2-1 + 2*(m-1)*(n-2),source,d),add(source,j*2-1 + 2*(m-1)*(n-2),d);
            else
            {
                add(j*2-1 + 2*(m-1)*(i-2),j*2 + 2*(m-1)*(i-1),d);
                add(j*2 + 2*(m-1)*(i-1),j*2-1 + 2*(m-1)*(i-2),d);
            }
        }
    }
    rep(i,1,n-1)
    {
        rep(j,1,m)
        {
            d = read();
            if(j == 1) add(source,j + 2*(m-1)*(i-1),d),add(j+2*(m-1)*(i-1),source,d);
            else if(j == m) add(2*(m-1)*i,sink,d),add(sink,2*(m-1)*i,d);
            else
            {
                add(2*j-2 + 2*(m-1)*(i-1),2*j-1 + 2*(m-1)*(i-1),d);
                add(2*j-1 + 2*(m-1)*(i-1),2*j-2 + 2*(m-1)*(i-1),d);
            }
        }
    }
    int tot = -1;
    rep(i,1,n-1)
    {
        rep(j,1,m-1)
        {
            d = read(),tot += 2;
            add(tot,tot+1,d),add(tot+1,tot,d);
        }
    }
}
void dij(int s)
{
    dis[s] = 0;
    q.insert(make_pair(dis[s],s));
    while(!q.empty())
    {
        pr now = *(q.begin());
        q.erase(q.begin());
        for(int i = head[now.second]; i; i = e[i].next)
        {
            if(dis[e[i].to] > dis[now.second] + e[i].v)
            {
                it = q.find(make_pair(dis[e[i].to],e[i].to));
                if(it != q.end()) q.erase(it);
                dis[e[i].to] = dis[now.second] + e[i].v;
                q.insert(make_pair(dis[e[i].to],e[i].to));
            }
        }
    }
}
int main()
{
    n = read(),m = read();
    if(n == 1)
    {
        rep(i,1,m-1) d = read(),minn = min(minn,d);
        printf("%d
",minn);
        return 0;
    }
    if(m == 1)
    {
        rep(i,1,n-1) d = read(),minn = min(minn,d);
        printf("%d
",minn);
        return 0;
    }
    source = 2*(n-1)*(m-1) + 1,sink = source + 1;
    build();
    rep(i,1,M) dis[i] = INF;
    dis[source] = INF,dis[sink] = INF;
    dij(source);
    printf("%d
",dis[sink]);
    return 0;
}