完全背包

Posted 2020-12-30 l1l1

处理何种问题：给定 n 种物品（每种类型无限）和一个容量为 V 的背包，物品 i 的体积为 vi，其价 值为 pi，求其最终可以装进背包的物品最大价值。

 

性能：时间复杂度为O（nV）。

 

原理：在学习背包之前，可能是思考方向的不对的原因，导致对背包题解的做法有些误解，现在借着写完全背包我在这里阐述一下我对于背包的理解。

在此，我先假定一个数组dp[V]，里面存的是当背包容量只有V的情况下，可以存的物品的最大价值是多少。然后，我们假设只有第一件物品arr[0]，然后我们利用arr[0]，对dp[V]进行赋值操作，如下图所示：

dp[0]	…	dp[arr[0].v]	dp[arr[0].v+1]	…	dp[arr[0].v*2]	…	dp[V]
0	…	arr[0].p	arr[0].p	…	arr[0].p*2	…	V/arr[0].v*arr[i].p

然后，我在dp[V]已更新的基础上我们再加上一个物品arr[1]，对此我们依旧仿照上面的操作判断dp[V]=max(dp[V],dp[V-arr[1].v]+arr[1].p)，毕竟我们只需要确保当背包为V时，看看怎么加物品i使得dp[V]最大（是放还是不放），这是一个迭代的过程，dp[V-arr[1].v]+arr[1].p就是为了得到在放该物品之后能得到的最大值。

在捋清思路之后，完全背包的解法就是这么显得顺其自然，很像贪心。

 

实现步骤：与01背包类似，具体看代码。

 

备注：状态转移方程具体看代码，个人觉得与01背包相似，但又有一些根本上的不同，在这里就不写了。

 

输入样例解释：

5 1000 //n种物品，背包容量为V

144 990//第0种物品的体积和价值

487 436

210 673

567 58

1056 897

输出样例解释：

5940 //最大价值

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

struct node
{
    int v,p;
};
node arr[11000];
int dp[100010];

int main()
{
    int n,V;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    scanf("%d%d",&n,&V);

    for(int i=0;i<n;++i)    scanf("%d%d",&arr[i].v,&arr[i].p);

    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        for(int j=arr[i].v;j<=V;++j)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-arr[i].v]+arr[i].p);
        }
    }

    printf("%d
",dp[V]);
    return 0;
}