51Nod1634 刚体图 动态规划 容斥原理 排列组合
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题目传送门 - 51Nod1634
题意
基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 640 难度:8级算法题
计算机科学中,图可以看做是点集和边集所组成的二元组。
一个图被认为是刚体,如果该图无法只改变其中一部分的形状,而使得余下的部分的形状保持不变。
通过给每个点设置一个平面坐标,图可以镶嵌在欧几里得平面中。
一个图被认为是刚体,如果该图无法只改变其中一部分的形状,而使得余下的部分的形状保持不变。
例如上图中的 (a) (b) (c) 都是刚体。
为了简化问题,我们现在只考虑 n × m 的格点图。
上图不是刚体,但是可以通过在对角线加入支撑的方式使得其变为刚体。
我们的问题是,对于 m × n 的个点图,有多少种添加支撑的方案可以使其变为刚体?
注意本题在每个小矩形中,我们至多只允许添加一个方向的对角线。
例如,对于 2 × 3 的格点图,一共有 448 种方案。
例如,对于 2 × 3 的格点图,一共有 448 种方案。
题解
考虑到加一条斜着的边的作用是让一个格子的行和列垂直。
我们需要让所有的行和列都互相垂直。于是,只要我们建一个二分图,行和列分居两侧,问题就被转化成了统计连通的二分图个数,其中,一条边有两种连接的方式。
令 $dp_{i,j}$ 表示左边有 $i$ 个,右边有 $j$ 个节点 的连通二分图个数,于是我们需要补集转化一下,得到:
$$dp_{n,m}=3^{nm}sum_{i=1}^{n}sum_{j=0}^{m}[i eq n { m OR} j eq m] inom{n-1}{i-1}inom{m}{j}cdot 3^{(n-i)(m-j)}dp_{i,j}$$
这里略微的解释一下意义。我们枚举第一个节点所在的连通块的左右部分点的个数,然后剩余的边可以随意连,所以有一个 $3^{(n-i)(m-j)}$ 。
代码
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=15,mod=1e9+7; int C[N][N],Pow3[N*N],dp[N][N]; int main(){ for (int i=0;i<N;i++) C[i][0]=C[i][i]=1; for (int i=1;i<N;i++) for (int j=1;j<i;j++) C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod; Pow3[0]=1; for (int i=1;i<N*N;i++) Pow3[i]=3LL*Pow3[i-1]%mod; memset(dp,0,sizeof dp); dp[0][1]=dp[1][0]=1; for (int n=1;n<N;n++) for (int m=1;m<N;m++){ dp[n][m]=Pow3[n*m]; for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=0;j<=m;j++) if (i!=n||j!=m) dp[n][m]=(-1LL*C[n-1][i-1]*C[m][j]%mod *Pow3[(n-i)*(m-j)]%mod*dp[i][j]%mod +dp[n][m])%mod; dp[n][m]=(dp[n][m]+mod)%mod; } int n,m; while (~scanf("%d%d",&n,&m)) printf("%d ",dp[n][m]); return 0; }
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