拓展中国剩余定理解决模数不互质同余方程组

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了拓展中国剩余定理解决模数不互质同余方程组相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

如果模数互质的话,直接中国剩余定理就可以了

但是如果模数不互质又没有接触这个方法就凉凉了

推是很不好推出来的

假设我们这里有两个方程: 

x=a1?x1+b1

x=a2?x2+b2 

a1,a2是模数,b1,b2是余数

那么我们可以合并这两个方程:

a1?x1+b1=a2?x2+b2

由于x1x2可以取负无穷到正无穷,所以符号不能约束它们,我们随便变一变形得到

a1?x1+a2?x2=b2?b1

然后使用拓展欧几里德算法,x和y分别是式子中的x1和x2

我们求出了一个最小正整数解x1

k=(a1?x1+b1)

xk(mod lcm(a1,a2))

一路合并下去就可以得到最终的解答了

典型例题是POJ2891,全网仅此一道??

POJ真是交上去立刻A

 1 #include<cstdio>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn=100005;
 4 int n;
 5 long long a[maxn],m[maxn];
 6 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
 7 {
 8     if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
 9     long long ret=exgcd(b,a%b,x,y);
10     long long t=x;x=y;y=t-a/b*y;
11     return ret;
12 }
13 long long crt()
14 {
15     long long M=m[1],A=a[1];
16     long long x,y;
17     for(int i=2;i<=n;i++)
18     {
19         long long d=exgcd(M,m[i],x,y);
20         if((a[i]-A)%d) return -1;  //无解
21         //计算x的值 
22         x*=(a[i]-A)/d;
23         long long t=m[i]/d;
24         x=(x%t+t)%t;
25         A=M*x+A;
26         M=M/d*m[i];
27         A%=M; 
28     }
29     A=(A%M+M)%M;
30     return A;
31 }
32 int main()
33 {
34     while(scanf("%d",&n)==1)
35     {
36         for(int i=1;i<=n;i++)
37             scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]);
38         printf("%lld
",crt());
39     }
40     return 0;
41 }

 



以上是关于拓展中国剩余定理解决模数不互质同余方程组的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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